【統計検定1級過去問】2016年（理工学）大問4

ある会社の情報部門に故障したPCが持ち込まれる。一日に持ち込まれるPCの台数[math]X[/math]はポアソン分布[math]Poisson(\lambda)[/math]に従うとする。なお、[math]Poisson(\lambda)[/math]の確率関数は

[math]
p(x)=\dfrac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}\quad (x=0,1,2,\dots)
[/math]

である。この時、以下の問に答えよ。

1. [math]Poisson(\lambda)[/math]のモーメント母関数が

   [math]M_X(t)=E[e^{tX}]=\exp[\lambda(e^t-1)][/math]

   になることを示し、平均と分散を求めよ。

2. [math]Poisson(\lambda)[/math]の最頻値を求めよ。
3. 過去50日間の持ち込まれたPCの台数[math]X[/math]とその日数は以下であった。このデータから[math]\lambda[/math]の最尤推定値を求めよ。

   [math]
   \begin{array}{|c|*8{c|}}\hline
   X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \geq 6 & {\rm Total} \\ \hline
   日数 & 8 & 15 & 12 & 10 & 3 & 2 & 0 & 50 \\ \hline
   \end{array}
   [/math]

4. 修理に持ち込まれたPCの台数が0の日は何日あったか分からないとする。この場合の確率分布に従う確率変数を[math]Y[/math]とすると確率関数は

   [math]
   f(y)=\dfrac{\lambda^ye^{-\lambda}/y!}{1-e^{-\lambda}}\quad (y=1,2,\dots)
   [/math]

   である。この時、

   • [math]Y[/math]のモーメント母関数[math]M_Y(t)[/math]と平均を求めよ。
   • [math]\lambda[/math]の推定法を論ぜよ。