書籍や統計、機械学習を調べる中で気になったことや面白いと思ったことを紹介しています。
バーゼル問題
平方数の逆数の和はいくつになるか？という問題で提起されてから100年近く未解決だった難問です。「バーゼル問題（平方数の逆数の和）の初等的解法」では平方数の逆数の和が[math]\frac{\pi^2}{6}[/math]に収束することを初等的に示します。
スターリングの公式
階乗[math]n![/math]をより扱いやすい指数形式で近似する「スターリングの公式」（Stirling’s formula）として
- 対数近似: [math] \log n! \sim n\log n – n[/math]
- 漸近近似: [math]
n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n
[/math]
が知られています。以下の記事ではスターリングの公式の対数近似と漸近近似を高校数学の範囲で初等的に導出しています。
ベルトラン・チェビシェフの定理
「[math]n[/math]と[math]2n[/math]の間には素数が存在する」という定理です。放浪の天才数学者エルデッシュが高校生の時に示した証明を前編／後編に分けて紹介しています。
また、ベルトラン・チェビシェフの定理を使って[math]n[/math]番目までの素数の積と[math]n+1[/math]番目の素数の関係を示した「ボンゼの不等式」を示すこともできます。
ウォリスの公式
ウォリスの公式は
[math]
\dfrac{2\cdot 2}{1\cdot 3}\cdot
\dfrac{4\cdot 4}{3\cdot 5}\cdot
\dfrac{6\cdot 6}{5\cdot 7}\cdots = \dfrac{\pi}{2}
[/math]
一見関係なさそうな「偶数の積と奇数の積の比」と「円周率」を関係付ける面白い公式です。一見、無限積が現れ難しそうですが「ウォリスの公式」では高校数学の範囲で証明しています。
また、この公式の導出過程の結果から二項係数[math]{}_{2n}C_n[/math]の漸近近似
[math]
{}_{2n}C_n \sim \dfrac{4^n}{\sqrt{\pi n}}
[/math]
を示すことができ、この結果は「スターリングの公式」や「ベルトラン・チェビシェフの定理」で重要な役割を果たします。
大人のピタゴラスイッチ「ピーマンとハトと数学」
2017年1月に放送された「大人のピタゴラスイッチ ピーマンとハトと数学」の内容を「組合せ」「鳩ノ巣原理」を使い発展させた結果をこちらの記事で紹介しています。