【統計検定1級過去問】2016年（統計数理）大問1

確率変数[math]X_1,\dots,X_n\sim\mathcal{N}(\mu, 1)[/math]は互いに独立であるとし（[math]n>1[/math]）、標本平均を[math]\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i[/math]とする時、以下の問に答えよ。
なお、正規分布[math]\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)[/math]の

• 確率密度関数: [math]f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right][/math]
• モーメント母関数: [math]M_X(t)=E[e^{tX}]=\exp\left[\mu t + \frac{\sigma^2t^2}{2}\right][/math]

は既知として良い。

1. [math]\theta=e^\mu[/math]とする。尤度[math]L(\theta)[/math]および最尤推定量[math]\hat{\theta}[/math]を求めよ。
2. [math]\hat{\theta}[/math]のバイアスを求めその正負を理由をつけて答えよ。また、[math]\tilde{\theta}=\exp\left[\bar{X}-\dfrac{1}{2n}\right][/math]は不偏推定量であることを示せ。
3. 最尤推定量[math]\hat{\theta}[/math]の平均二乗誤差[math]MSE(\hat{\theta})=E\left[(\hat{\theta}-\theta)^2\right][/math]を求め、[math]\displaystyle\lim_{n\to\infty}MSE(\hat{\theta})=0[/math]を示せ。
4. 尤度[math]L(\theta)[/math]についてフィッシャー情報量[math]I(\theta)=E\left[\left\{\dfrac{d}{d\theta}\log L(\theta)\right\}^2\right][/math]を求めよ。また[math]V[\tilde{\theta}][/math]は[math]\dfrac{1}{I(\theta)}[/math]と一致するか答えよ。