【統計検定1級過去問】2015年（統計数理）大問1

平均[math]\mu[/math], 分散[math]\sigma^2[/math]をパラメータとして持つ分布を分布[math]D[/math]とする。[math]X_1,\dots,X_n \sim D[/math]を互いに独立な確率変数とし、[math]\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i[/math], [math]S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2[/math]とする時、以下の問に答えよ。

1. [math]E\left[\bar{X}^2\right][/math]を求めよ。
2. [math]S^2[/math]は[math]\sigma^2[/math]の不偏推定量であることを示せ。

以下では分布[math]D[/math]は正規分布[math]\mathcal{N}(\mu,\ \sigma^2)[/math]とする。

3. [math]k\in\mathbb{N}[/math]に対して[math]E\left[\bar{X}^k\right][/math]を求めよ。
4. [math]S^2[/math]は[math]\sigma^2[/math]の一致推定量かどうか述べよ。
5. [math]c>0[/math]としたとき[math]MSE[cS^2]=E\left[(cS^2-\sigma^2)^2\right][/math]を求め、その値を最小にする[math]c[/math]と最小値を求めよ。