【統計検定1級過去問】2017年（統計数理）大問1

確率変数[math]X[/math]は母集団分布[math]D[/math]に従うとし

• 期待値: [math]\mu=E[X][/math]
• 分散: [math]\sigma^2=V[X][/math]
• 歪度: [math]\beta_1=\dfrac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3}[/math]
• 尖度: [math]\beta_2=\dfrac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4}-3[/math]

とする。ただし、それぞれ有限で[math]\sigma^2 > 0[/math]とする。

確率変数[math]X_1,\dots,X_n[/math]は分布[math]D[/math]に従い互いに独立であるとする。

[math]
\begin{eqnarray}
\bar{X} &=& \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \\
T^2 &=& \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 \\
S^2 &=& \dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2
\end{eqnarray}
[/math]

とするとき以下の問に答えよ。

1. [math]\bar{X}[/math]の期待値、分散を[math]\mu,\ \sigma^2,\ n[/math]を用いて表せ。また、[math]T^2,\ S^2[/math]はともに[math]\sigma^2[/math]の不偏推定量であることを示せ。
2. [math]\bar{X}[/math]の歪度を[math]\beta_1,\ n[/math]を用いて表せ。
3. [math]\bar{X}[/math]の尖度を[math]\beta_2,\ n[/math]を用いて表せ。
4. [math]n[/math]が十分大きい時、[math]\bar{X}[/math]の歪度、尖度の振る舞いを述べよ。
5. [math]X[/math]の母集団分布が正規分布[math]N(\mu,\ \sigma^2)[/math]であるとする。
   • [math]\mu[/math]が既知のとき、[math]\sigma^2[/math]の最尤推定量は[math]T^2[/math]になることを示せ。
   • [math]\mu[/math]が未知のとき、[math]\sigma^2[/math]の最尤推定量を[math]S^2[/math]を用いて表せ。

   なお、[math]X[/math]の確率密度関数が[math]f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right][/math]であることは既知としてよい。