【統計検定1級過去問】2017年（統計数理）大問2

確率変数[math]X[/math]は[math]\theta[/math]を未知のパラメータとして確率密度関数

[math]
f(x;\ \theta) = \begin{cases} \dfrac{1}{\theta} &(0 < x \leq \theta)\\ 0 &({\rm otherwise})\end{cases} [/math]

を持つとする。互いに独立な確率変数[math]X_1,\dots,X_n[/math]がこの分布に従うとした時、以下の問に答えよ。

1. [math]X_{\rm max} = \max(X_1,\dots,X_n)[/math]とするとき[math]\theta[/math]の最尤推定量は[math]\hat{\theta}=X_{\rm max}[/math]となることを示せ。
2. [math]\theta’=\frac{2}{n}\sum_{i=1}^n X_i[/math]は[math]\theta[/math]の不偏推定量であることを示せ。
3. [math]X_{\rm max}[/math]の確率密度関数を求め、[math]\theta”=\frac{n+1}{n}X_{\rm max}[/math]は[math]\theta[/math]の不偏推定量であることを示せ。
4. [math]V[\theta’], V[\theta”][/math]の大小を比較しどちらがより望ましいかを論ぜよ。