【統計検定1級過去問】2017年(統計数理)大問2 解答例

投稿者: | 2018-02-03

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大問2では順序統計量に関する問題が出題されました。

【統計検定対策】順序統計量」で紹介したように最大値[math]X_{\rm max}[/math]の累積分布関数を考えるのがポイントで準備していた人には易しい問題だったと思います。

問題

確率変数[math]X[/math]は[math]\theta[/math]を未知のパラメータとして確率密度関数

[math]
f(x;\ \theta) = \begin{cases} \dfrac{1}{\theta} &(0 < x \leq \theta)\\ 0 &({\rm otherwise})\end{cases} [/math]

を持つとする。互いに独立な確率変数[math]X_1,\dots,X_n[/math]がこの分布に従うとした時、以下の問に答えよ。

(出典:統計検定HP「統計検定 1級の過去問題」。問題文を一部略記。)

問1

[math]X_{\rm max} = \max(X_1,\dots,X_n)[/math]とするとき[math]\theta[/math]の最尤推定量は[math]\hat{\theta}=X_{\rm max}[/math]となることを示せ。

[math]X_1,\dots,X_n[/math]の観測値を[math]x_1,\dots,x_n[/math]とすると尤度関数は

[math]
\begin{eqnarray}
L(\theta;\ \mathbf{x}) &=& \prod_{i=1}^n f(x_i;\ \theta) \\
&=& \dfrac{1}{\theta^n}
\end{eqnarray}
[/math]

である。[math]x_{\rm max}=\max(x_1,\dots,x_n)[/math]とおくと[math]\theta[/math]が取り得る範囲は

[math]
0 < x_{\rm max} \leq \theta [/math]

なので尤度は[math]\hat{\theta}=x_{\rm max}[/math]で最大になる。これより[math]\theta[/math]の最尤推定量は[math]\hat{\theta}=X_{\rm max}[/math]である。

問2

[math]\theta’=\frac{2}{n}\sum_{i=1}^n X_i[/math]は[math]\theta[/math]の不偏推定量であることを示せ。

まず[math]X_i[/math]の期待値を求めると

[math]
\begin{eqnarray}
E[X_i] &=& \int_{0}^\theta x \cdot \dfrac{1}{\theta} dx \\
&=& \dfrac{1}{\theta}\left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_{0}^{\theta} \\
&=& \dfrac{\theta}{2}
\end{eqnarray}
[/math]

である。これより

[math]
\begin{eqnarray}
E[\theta’] &=& \dfrac{2}{n}\sum_{i=1}^n E[X_i] \\
&=& \dfrac{2}{n}\cdot n \cdot \dfrac{\theta}{2} \\
&=& \theta
\end{eqnarray}
[/math]

なので[math]\theta'[/math]は[math]\theta[/math]の不偏推定量である。

問3

[math]X_{\rm max}[/math]の確率密度関数を求め、[math]\theta”=\frac{n+1}{n}X_{\rm max}[/math]は[math]\theta[/math]の不偏推定量であることを示せ。

まず[math]X_{\rm max}[/math]の累積分布関数[math]F_{X_{\rm max}}(x)[/math]を求める。

[math]
\begin{eqnarray}
&& F_{X_{\rm max}}(x) \\
&=& P(X_{\rm max} \leq x) \\
&=& P(X_1 \leq x)\times \cdots \times P(X_n \leq x)
\end{eqnarray}
[/math]

なので[math]X_i[/math]の累積分布関数[math]F_{X}(x)=P(X \leq x)[/math]を用いて

[math]
F_{X_{\rm max}}(x) = \left( F_{X}(x) \right)^n
[/math]

とかける。ここで[math]F_{X}(x)[/math]を求めると

[math]
\begin{eqnarray}
F_{X}(x) &=& P(X \leq x) \\
&=& \int_{0}^{x} \dfrac{1}{\theta} dx \\
&=& \dfrac{x}{\theta}
\end{eqnarray}
[/math]

なので[math]F_{X_{\rm max}}(x)=\dfrac{x^n}{\theta^n}[/math]である。これより[math]X_{\rm max}[/math]の確率密度関数[math]g(x)[/math]は

[math]
\begin{eqnarray}
g(x) &=& \dfrac{d}{dx}F_{X_{\rm max}}(x) \\
&=& \dfrac{nx^{n-1}}{\theta^n}
\end{eqnarray}
[/math]

である。

つぎに[math]X_{\rm max}[/math]の期待値を求めると

[math]
\begin{eqnarray}
E[X_{\rm max}] &=& \int_{0}^{\theta} x\cdot \dfrac{nx^{n-1}}{\theta^n}dx \\
&=& \dfrac{n}{\theta^n}\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{\theta} \\
&=& \dfrac{n}{n+1}\theta
\end{eqnarray}
[/math]

なので

[math]
\begin{eqnarray}
&& E[\theta”] \\
&=& \dfrac{n+1}{n}E[X_{\rm max}] \\
&=& \theta
\end{eqnarray}
[/math]

となり[math]\theta”[/math]は[math]\theta[/math]の不偏推定量である。

問4

[math]V[\theta’], V[\theta”][/math]の大小を比較しどちらがより望ましいかを論ぜよ。

まず[math]V[\theta’][/math]を求める。

[math]
V[\theta’] = \dfrac{4}{n^2}\sum_{i=1}^n V[X_i]
[/math]

であり

[math]
\begin{eqnarray}
V[X_i] &=& E[X_i^2] – (E[X_i])^2 \\
&=& \int_{0}^\theta \dfrac{x^2}{\theta}dx – \dfrac{\theta^2}{4} \\
&=& \dfrac{\theta^2}{3} – \dfrac{\theta^2}{4} \\
&=& \dfrac{\theta^2}{12}
\end{eqnarray}
[/math]

なので[math]V[\theta’] = \dfrac{\theta^2}{3n}[/math]である。

つぎに[math]V[\theta”][/math]を求める。

[math]
V[\theta”] = \dfrac{(n+1)^2}{n^2}V[X_{\rm max}]
[/math]

であり

[math]
\begin{eqnarray}
&& V[X_{\rm max}] \\
&=& E[X_{\rm max}^2] – (E[X_{\rm max}])^2 \\
&=& \int_0^{\theta} x^2 \cdot \dfrac{nx^{n-1}}{\theta^n} dx – \dfrac{n^2}{(n+1)^2}\theta^2 \\
&=& \dfrac{n}{n+2}\theta^2- \dfrac{n^2}{(n+1)^2}\theta^2 \\
&=& \dfrac{n\theta^2}{(n+1)^2(n+2)}
\end{eqnarray}
[/math]

なので

[math]
\begin{eqnarray}
&& V[\theta”] \\
&=& \frac{(n+1)^2}{n^2}\cdot\dfrac{n\theta^2}{(n+1)^2(n+2)}\\
&=& \dfrac{\theta^2}{n(n+2)}
\end{eqnarray}
[/math]

である。これより

[math]
\dfrac{V[\theta”]}{V[\theta’]} = \dfrac{3}{n+2} \leq 1
[/math]

が成立し[math]V[\theta”]\leq V[\theta’][/math]なので[math]\theta”[/math]の方が望ましい。

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