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確率変数の和や逆数の性質を問う問題が出題されました。
問2の確率変数の和の確率密度関数を求められたかがポイントで、この問題さえ解ければあとは誘導に乗って完問も十分可能な問題セットだと思います。
問題
[math]
f(x) = \begin{cases}\lambda e^{-\lambda x} &(x > 0) \\ 0 &(x \leq 0)\end{cases}
[/math]
を持つ指数分布に従う。[math]U=X_1 + X_2, \bar{X}=\frac{U}{2}[/math]とおくとき以下の問いに答えよ。
（出典：統計検定HP「統計検定 1級の過去問題」。問題文を一部略記。）
問1
まず[math]E[X_i] (i=1, 2)[/math]を求めると
[math]
\begin{eqnarray}
E[X_i] &=& \int_0^\infty t \cdot \lambda e^{-\lambda t} dt \\
&=& \lambda \int_0^\infty t \cdot \left(-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda t}\right)’ dt \\
&=& \lambda\left\{ \left[-\frac{t}{\lambda}e^{-\lambda t}\right]_0^\infty + \int_0^\infty \frac{1}{\lambda}e^{-\lambda t}dt\right\} \\
&=& \left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda t}\right]_0^\infty \\
&=& \frac{1}{\lambda}
\end{eqnarray}
[/math]
なので[math]E[U]=E[X_1]+E[X_2]=\frac{2}{\lambda}[/math]である。
問2
[math]X_1, X_2[/math]は独立なので
[math]
\begin{eqnarray}
g(u) &=& \int_{-\infty}^\infty f(t)f(u-t)dt \\
&=& \int_0^u \lambda e^{-\lambda t} \cdot \lambda e^{-\lambda (u-t)} dt \\
&=& \lambda^2 e^{-\lambda u}\int_0^u dt \\
&=& \lambda^2 u e^{-\lambda u}\quad (u > 0)
\end{eqnarray}
[/math]
である。
問3
問2の結果より
[math]
\begin{eqnarray}
E\left[\frac{1}{U}\right] &=& \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{u}g(u)du \\
&=& \int_0^\infty \frac{1}{u}\cdot \lambda^2 u e^{-\lambda u} du \\
&=& \lambda^2 \int_0^\infty e^{-\lambda u} du \\
&=& \lambda
\end{eqnarray}
[/math]
である。
問4
[math]
L(\alpha\bar{X}, \theta) = \dfrac{\alpha\bar{X}}{\theta} + \dfrac{\theta}{\alpha\bar{X}} – 2
[/math]
として期待値[math]R(\alpha, \theta)=E\left[L(\alpha\bar{X}, \theta)\right][/math]と期待値が最小となる[math]\alpha[/math]の値を求めよ。
まず
[math]
E\left[L(\alpha\bar{X}, \theta)\right] = \frac{\alpha}{\theta}E\left[\bar{X}\right] + \frac{\theta}{\alpha}E\left[\frac{1}{\bar{X}}\right] – 2
[/math]
であり問1, 3の結果から
[math]
\begin{eqnarray}
E\left[\bar{X}\right] &=& E\left[\frac{U}{2}\right] = \frac{1}{\lambda} \\
E\left[\frac{1}{\bar{X}}\right] &=& E\left[\frac{2}{U}\right] = 2\lambda
\end{eqnarray}
[/math]
なので[math]\theta=\frac{1}{\lambda}[/math]より
[math]
\begin{eqnarray}
E\left[L(\alpha\bar{X}, \theta)\right] &=& \frac{\alpha}{\theta}E\left[\bar{X}\right] + \frac{\theta}{\alpha}E\left[\frac{1}{\bar{X}}\right] – 2 \\
&=& \alpha\lambda\cdot \frac{1}{\lambda} + \frac{1}{\alpha\lambda}\cdot 2\lambda – 2 \\
&=& \alpha + \frac{2}{\alpha} – 2
\end{eqnarray}
[/math]
となる。これより[math]R(\alpha, \theta) = \alpha + \frac{2}{\alpha} – 2[/math]であり[math]\alpha=\sqrt{2}[/math]のときに最小になる。
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