【統計検定1級過去問】2019年（統計数理）大問2 解答例

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確率変数の和や逆数の性質を問う問題が出題されました。

問2の確率変数の和の確率密度関数を求められたかがポイントで、この問題さえ解ければあとは誘導に乗って完問も十分可能な問題セットだと思います。

問題

（出典：統計検定HP「統計検定 1級の過去問題」。問題文を一部略記。）

問1

まず$E[X_i] (i=1, 2)$を求めると

$\begin{eqnarray} E[X_i] &=& \int_0^\infty t \cdot \lambda e^{-\lambda t} dt \\ &=& \lambda \int_0^\infty t \cdot \left(-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda t}\right)’ dt \\ &=& \lambda\left\{ \left[-\frac{t}{\lambda}e^{-\lambda t}\right]_0^\infty + \int_0^\infty \frac{1}{\lambda}e^{-\lambda t}dt\right\} \\ &=& \left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda t}\right]_0^\infty \\ &=& \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray}$

なので$E[U]=E[X_1]+E[X_2]=\frac{2}{\lambda}$である。

問2

$X_1, X_2$は独立なので

$\begin{eqnarray} g(u) &=& \int_{-\infty}^\infty f(t)f(u-t)dt \\ &=& \int_0^u \lambda e^{-\lambda t} \cdot \lambda e^{-\lambda (u-t)} dt \\ &=& \lambda^2 e^{-\lambda u}\int_0^u dt \\ &=& \lambda^2 u e^{-\lambda u}\quad (u > 0) \end{eqnarray}$

である。

問3

問2の結果より

$\begin{eqnarray} E\left[\frac{1}{U}\right] &=& \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{u}g(u)du \\ &=& \int_0^\infty \frac{1}{u}\cdot \lambda^2 u e^{-\lambda u} du \\ &=& \lambda^2 \int_0^\infty e^{-\lambda u} du \\ &=& \lambda \end{eqnarray}$

である。

問4

まず

$E\left[L(\alpha\bar{X}, \theta)\right] = \frac{\alpha}{\theta}E\left[\bar{X}\right] + \frac{\theta}{\alpha}E\left[\frac{1}{\bar{X}}\right] – 2$

であり問1, 3の結果から

$\begin{eqnarray} E\left[\bar{X}\right] &=& E\left[\frac{U}{2}\right] = \frac{1}{\lambda} \\ E\left[\frac{1}{\bar{X}}\right] &=& E\left[\frac{2}{U}\right] = 2\lambda \end{eqnarray}$

なので$\theta=\frac{1}{\lambda}$より

$\begin{eqnarray} E\left[L(\alpha\bar{X}, \theta)\right] &=& \frac{\alpha}{\theta}E\left[\bar{X}\right] + \frac{\theta}{\alpha}E\left[\frac{1}{\bar{X}}\right] – 2 \\ &=& \alpha\lambda\cdot \frac{1}{\lambda} + \frac{1}{\alpha\lambda}\cdot 2\lambda – 2 \\ &=& \alpha + \frac{2}{\alpha} – 2 \end{eqnarray}$

となる。これより$R(\alpha, \theta) = \alpha + \frac{2}{\alpha} – 2$であり$\alpha=\sqrt{2}$のときに最小になる。

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