【統計検定1級過去問】2019年(統計数理)大問4

投稿者: | 2020-04-25

2019年 統計検定1級(統計数理)大問4

次の確率密度関数を持つコーシー分布を考える。

[math]
f_\theta(x) = \dfrac{1}{\pi\left\{1+(x-\theta)^2\right\}} \quad (-\infty < x < \infty) [/math]

この分布から大きさ1の標本[math]X[/math]に基づき

  • 帰無仮説: [math]\theta=0[/math]
  • 対立仮説: [math]\theta=1[/math]

に対して検定したい。ここで、棄却域を[math]R = \left\{x | 1 < x < 3\right\}[/math]とする検定を考える。この時、以下の問いに答えよ。ただし、[math]\tan^{-1} 2=1.107[/math], [math]\tan^{-1} 3=1.249[/math], [math]\pi=3.1416[/math], [math]\frac{d}{dx}\tan^{-1}x = \frac{1}{1+x^2}[/math]を用いて良い。

  1. この検定のサイズ(第一種の過誤確率)[math]\alpha[/math]を小数第3位まで求めよ。
  2. この検定の検出力[math]1-\beta[/math]([math]\beta[/math]: 第二種の過誤確率)を小数第3位まで求めよ。
  3. 尤度比[math]\lambda(x)=\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}[/math]の[math]x=1[/math]と[math]x=3[/math]における値と[math]\lambda(x)[/math]の概形を描け。
  4. この検定はサイズ[math]\alpha[/math]を有意水準とする検定の中で最強力検定になることをネイマン・ピアソンの基本定理を用いて示せ。

(出典:統計検定HP「統計検定 1級の過去問題」。問題文を一部略記。)

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