【統計検定1級過去問】2016年（統計数理）大問2

確率変数[math]X\sim Exp(\lambda), \lambda>0[/math]とする時、以下の問に答えよ。
なお、指数分布[math]Exp(\lambda)[/math]の確率密度関数

[math]f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x} &(x\geq 0) \\ 0 &(x<0)\end{cases}[/math]

は既知として良い。

1. [math]E[X]=\frac{1}{\lambda}[/math]を示せ。
2. 正の定数[math]c>0[/math]に対し[math]Q(c)=P(X>c)[/math]を求めよ。また、[math]\alpha\in (0, 1)[/math]に対し[math]P(X>u(\alpha))=\alpha[/math]となる[math]u(\alpha)[/math]を求めよ。

以下では[math]X_1,\dots,X_n\sim Exp(\lambda)[/math]は互いに独立であるとする。
3. [math]\lambda[/math]の最尤推定量を求めよ。さらに[math]Q(c), u(\alpha)[/math]の最尤推定量[math]\hat{Q}(c), \hat{u}(\alpha)[/math]を求め[math]\hat{u}(\alpha)[/math]は[math]u(\alpha)[/math]の不偏推定量か答えよ。
4. [math]Y=\sum_{i=1}^{n}X_i[/math]の確率密度関数[math]g_n(y)[/math]が

   [math]g_n(y)=\begin{cases}\dfrac{\lambda^n}{\Gamma(n)}y^{n-1} e^{-\lambda y} &(y\geq 0) \\ 0 &(y<0)\end{cases}[/math]

   となることを示せ。さらに

   [math]\tilde{Q}(c)=\begin{cases} \left(1-\dfrac{c}{Y}\right)^{n-1} &(Y\geq c) \\ 0 &(Y< c)\end{cases}[/math]

   が[math]Q(c)[/math]の不偏推定量であることを示せ。