【統計検定1級過去問】2018年(理工学)大問2 解答例

投稿者: | 2019-05-05

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ワイブル分布を用いた信頼性解析がテーマでした。

問3の順序統計量(最小値)の分布を求めるのと、問4の確率計算がやや難しいですが丁寧な誘導がついており部分点を十分取れた問題セットだと思います。

問題

形状パラメタ[math]m > 0[/math]と尺度パラメタ[math]\eta > 0[/math]を持つワイブル分布[math]W(m,\eta)[/math]の累積分布関数[math]F(x)[/math]は

[math]

F(x) = \begin{cases}
1-\exp \left[-(x / \eta)^{m}\right] &(x \geq 0) \\
0 &(x < 0) \end{cases} [/math]

で与えられる。以下の問いに答えよ。

(出典:統計検定HP「統計検定 1級の過去問題」。問題文を一部略記。)

問1

[math]W(m,\eta)[/math]の確率密度関数[math]f(x)[/math]、最頻値を求めよ。また、[math]W(2, 10), W(2, 5)[/math]の概形を図示せよ。

確率密度関数[math]f(x)[/math]は

[math]
\begin{eqnarray}

f(x) &=& \dfrac{d}{dx}F(x) \\
&=& \dfrac{m}{\eta} \cdot\left(\dfrac{x}{\eta}\right)^{m-1}\exp\left[-\left(\dfrac{x}{\eta}\right)^{m}\right]
\end{eqnarray}
[/math]

である。最頻値を求めるため[math]f'(x)[/math]を計算すると

[math]

f'(x)=\dfrac{m x^{m-2}}{\eta^{m}}\left\{(m-1)-\dfrac{m x^{m}}{\eta^{m}}\right\}\exp\left[-\left(\dfrac{x}{\eta}\right)^{m}\right]
[/math]

なので[math]f'(x)=0[/math]を解いて[math]x=\left(\dfrac{m-1}{m}\right)^{1/m}\eta[/math]が最頻値である。

[math]W(2, 10), W(2, 5)[/math]の概形を求めると

  • [math]W(2, 10)[/math]: [math]10/\sqrt{2}[/math]で最大値
  • [math]W(2, 5)[/math]: [math]5/\sqrt{2}[/math]で最大値
  • [math]\eta[/math]の大きい[math]W(2, 10)[/math]の方が[math]W(2, 5)[/math]より右に裾の長い分布になる

に留意すると以下の図になる。

問2

[math]W(m,\eta)[/math]のハザード関数[math]h(x)=\dfrac{f(x)}{1-F(x)}[/math]を求め[math]m[/math]の値による[math]h(x)[/math]の特徴を論ぜよ。

ハザード関数[math]h(x)[/math]を求めると

[math]

h(x)=\dfrac{f(x)}{1-F(x)}=\dfrac{m}{\eta} \cdot\left(\dfrac{x}{\eta}\right)^{m-1}
[/math]

になる。これより[math]h(x)[/math]の特徴は

  • [math]m < 1[/math]: 単調減少関数
  • [math]m = 1[/math]: 定数
  • [math]m > 1[/math]: 単調増加関数

になる。

問3

[math]k[/math]個の部品からなる直列システムにおいて各部品の寿命は互いに独立で[math]W(m,\eta)[/math]に従うとする。このシステムは1つの部品でも故障すると稼働を停止する。このシステムが稼働停止するまでの時間が従う分布を求めよ。

システムが稼働停止するまでの時間を[math]T[/math]とすると

[math]

T = \min(X_1,\dots,X_k)
[/math]

であり[math]T \leq t[/math]となるのは「[math]X_i[/math]のいずれかが[math]t[/math]以下」の時なので

[math]
\begin{eqnarray}
P(T \leq t) &=& 1 – 
P(X_1 > t)\cdot \cdots \cdot P(X_k > t) \\
&=& 1 – \left(1 – F(t)\right)^k \\
&=& 1 – \exp\left[-\left(\dfrac{x}{\eta k^{-1/m}}\right)^m \right]
\end{eqnarray}
[/math]

を得る。 これはパラメタ[math](m, \eta k^{-1/m})[/math]のワイブル分布の累積分布関数なのでシステムが稼働停止するまでの時間はパラメタ[math](m, \eta k^{-1/m})[/math]のワイブル分布に従う。

問4

確率変数[math]X \sim W(2, 10)[/math], [math]Y \sim W(2,5)[/math]は互いに独立とする。この時、[math]P(X < Y)[/math]を求めよ。
[math]m, \eta[/math]が具体的に与えられていますが一般化して[math]X \sim W(m, \eta_1), Y \sim W(m, \eta_2)[/math]の場合を考えた方が見通しよく計算ができます。

[math]W(m,\eta)[/math]の確率密度関数を[math]f(x;m,\eta)[/math]と書く。[math]X \sim W(m, \eta_1), Y \sim W(m, \eta_2)[/math]とすると

[math]
\begin{eqnarray}



&& P(X < Y) \\ &=& \displaystyle\int_0^\infty f(x; m,\eta_1) \int_x^\infty f(y; m,\eta_2)dydx \end{eqnarray} [/math]

と書け

[math]
\begin{eqnarray}
&& 
\displaystyle\int_x^\infty f(y; m,\eta_2)dy \\
&=& 1 – F(x; m,\eta_2) = \exp\left[-\left(\dfrac{x}{\eta_2}\right)^m\right]

\end{eqnarray}
[/math]

なので

[math]
\begin{eqnarray}
&& 




P(X < Y) \\ &=& \displaystyle\int_0^\infty \left(\frac{m}{\eta_{1}}\right)\left(\frac{x}{\eta_{1}}\right)^{m-1}\exp\left[-\left(\dfrac{1}{\eta_1^m}+\dfrac{1}{\eta_2^m}\right)x^m\right]dx \end{eqnarray} [/math]

となり[math]\hat{\eta}=\left(\frac{1}{\eta_{1}^{m}}+\frac{1}{\eta_{2}^{m}}\right)^{-1 / m}[/math]とおくと

[math]
\begin{eqnarray}





&& P(X < Y) \\ &=& \dfrac{\hat{\eta}^m}{\eta_1^m} \int_0^\infty \dfrac {m}{\hat{\eta}}\left(\dfrac{x}{\hat{\eta}}\right)^{m-1}\exp\left[-\left(\dfrac{x}{\hat{\eta}}\right)^m\right]dx \\ &=& \dfrac{\hat{\eta}^m}{\eta_1^m}\int_0^\infty f(x; m,\hat{\eta})dx \\ &=& \dfrac{\hat{\eta}^m}{\eta_1^m} \\ &=& \dfrac{\eta_2^m}{\eta_1^m + \eta_2^m} \end{eqnarray} [/math]

となる。[math]m=2, \eta_1=10, \eta_2=5[/math]を代入して[math]P(X < Y)=\dfrac{1}{5}[/math]である。

問5

寿命が互いに独立に[math]W(m,\eta)[/math]に従う[math]n[/math]個の部品の寿命試験を行い観測値[math]x_1,\dots,x_n[/math]を得た。[math]W(m,\eta)[/math]のパラメタ[math]m,\eta[/math]の対数尤度関数を示せ。また、[math]\log\log\dfrac{1}{1-F(x)}[/math]を求めパラメタを推定する方法を論ぜよ。

まず確率密度関数の対数は

[math]

\log f(x)=\log m+(m-1) \log x – m \log \eta-\left(\dfrac{x}{\eta}\right)^{m}
[/math]

なので対数尤度関数は

[math]
\begin{eqnarray}

&& 
\log L(m,\eta) \\
&=& n\log m+(m-1) \sum_{i=1}^n\log x_i – mn \log \eta-\sum_{i=1}^n\left(\dfrac{x_i}{\eta}\right)^{m}
\end{eqnarray}
[/math]

である。

次に[math]\dfrac{1}{1-F(x)}=\exp\left[\left(\dfrac{x}{\eta}\right)^m\right][/math]なので

[math]

\log \log \dfrac{1}{1-F(x)} = m\log x – m\log \eta
[/math]

が成立する。これより[math]\left(\log x_i, 
\log \log \dfrac{1}{1-F(x_i)}\right)[/math]をプロットし

  • [math]m[/math]: 傾きから推定
  • [math]\eta[/math]: 切片と[math]m[/math]から推定

できる。

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