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指数分布、ポアソン分布、ガンマ分布の関係性をテーマにした問題でした。統計検定1級の頻出テーマなので過去問を解いていた人には取り組みやすい問題だったと思います。
問2は計算量があり少し大変ですがまったく同じ問題が「2016年の統計数理 大問2 問4」で出題されているので経験のある人は完答も難しくなかったのではと思います。
問題
（出典：統計検定HP「統計検定 1級の過去問題」。問題文を一部略記。）
問1
累積分布関数は[math]x < 0[/math]で[math]F(x)=0[/math]であり、[math]x \geq 0[/math]で
[math]
\begin{eqnarray}
F(x) &=& \int_{-\infty}^x f(t)dt \\
&=& \int_0^x \lambda e^{-\lambda t} dt \\
&=& \lambda\left[-\dfrac{e^{-\lambda t}}{\lambda}\right]_0^x \\
&=& \left(1-e^{-\lambda x}\right)
\end{eqnarray}
[/math]
である。モーメント母関数は
[math]
\begin{eqnarray}
M_X(\theta) &=& E\left[e^{\theta X}\right] \\
&=& \int_0^\infty e^{\theta t}\lambda e^{-\lambda t} dt \\
&=& \lambda\int_0^\infty e^{-(\lambda-\theta)t}dt \\
&=& \dfrac{\lambda}{\lambda – \theta}
\end{eqnarray}
[/math]
である。
問2
[math]
g_{n}(w)=\left\{\begin{array}{cc}{
\dfrac{\lambda^{n} w^{n-1} e^{-\lambda w}}{(n-1) !}} & {(w \geq 0)} \\
{0} & {(w<0)}\end{array}\right.
[/math]
まずモーメント母関数[math]M_W(\theta)[/math]を求める。
[math]
\begin{eqnarray}
M_W(\theta) &=& E\left[e^{\theta W}\right] \\
&=& E\left[e^{\theta\sum_{i=1}^n X_i}\right] \\
&=& \prod_{i=1}^n E\left[e^{\theta X_i}\right] \\
&=& \left(\dfrac{\lambda}{\lambda – \theta}\right)^n
\end{eqnarray}
[/math]
次に確率密度関数[math]g_n(w)[/math]を持つ確率変数を[math]G_n[/math]としモーメント母関数[math]M_{G_n}(\theta)[/math]が[math]\left(\dfrac{\lambda}{\lambda – \theta}\right)^n[/math]になることを数学的帰納法で示す。
[math]n=1[/math]の時、[math]g_1(w)=\lambda e^{-\lambda w}[/math]と指数分布の確率密度関数になるので[math]M_{G_1}(\theta)=\dfrac{\lambda}{\lambda – \theta}[/math]が成立する。
[math]n=k[/math]での成立を仮定、つまり[math]M_{G_k}(\theta)=\left(\dfrac{\lambda}{\lambda – \theta}\right)^k[/math]を仮定する。この時、
[math]
\begin{eqnarray}
M_{G_{k+1}}(\theta) &=& \int_0^\infty e^{\theta t} g_{k+1}(t)dt \\
&=& \dfrac{\lambda^{k+1}}{k!}\int_0^\infty t^ke^{-(\lambda – \theta)t}dt
\end{eqnarray}
[/math]
であり、部分積分すると
[math]
\begin{eqnarray}
&&
\int_0^\infty t^ke^{-(\lambda – \theta)t}dt \\
&=& \left[-\dfrac{t^ke^{-(\lambda – \theta)t}}{\lambda-\theta}\right]_0^\infty \\
&& \quad + \dfrac{k}{\lambda-\theta}\int_0^\infty t^{k-1}e^{-(\lambda – \theta)t}dt \\
&=& \dfrac{k}{\lambda-\theta}\int_0^\infty t^{k-1}e^{-(\lambda – \theta)t}dt
\end{eqnarray}
[/math]
なので
[math]
\begin{eqnarray}
&&
M_{G_{k+1}}(\theta) \\
&=& \dfrac{\lambda}{\lambda – \theta}\cdot \dfrac{\lambda^k}{(k-1)!}\int_0^\infty t^{k-1}e^{-(\lambda – \theta)t}dt \\
&=& \dfrac{\lambda}{\lambda – \theta}\cdot\int_0^\infty e^{\theta t}g_{k}(t)dt \\
&=& \dfrac{\lambda}{\lambda – \theta}M_{G_k}(\theta) \\
&=& \left(\dfrac{\lambda}{\lambda – \theta}\right)^{k+1}
\end{eqnarray}
[/math]
が成立し[math]n=k+1[/math]でも成立する。
これより[math]M_{G_n}(\theta)=\left(\dfrac{\lambda}{\lambda – \theta}\right)^n[/math]である。確率変数[math]W[/math]と[math]G_n[/math]のモーメント母関数が一致するので[math]W[/math]の確率密度関数は[math]g_n(w)[/math]と一致する。
問3
[math]X[/math]の累積分布関数を求めると
[math]
\begin{eqnarray}
P(X \leq x) &=& P\left(-\dfrac{1}{\lambda} \log U \leq x\right) \\
&=& P\left(U \geq e^{-\lambda x}\right) \\
&=& 1 – P\left(U \leq e^{-\lambda x}\right) \\
&=& \begin{cases} 1-e^{-\lambda x} &(x \geq 0) \\ 0 &(x < 0)\end{cases}
\end{eqnarray}
[/math]
となり問1の累積分布関数と一致する。よって、[math]X[/math]はパラメタ[math]\lambda[/math]の指数分布に従う。
問4
パラメタ[math]\lambda[/math]の指数分布の累積分布関数を[math]F(x)[/math]とすると
[math]
\begin{eqnarray}
P(Y = y) &=& P(y \leq X < y+1) \\
&=& F(y+1) - F(y) \\
&=& \left(1-e^{-\lambda (y+1)}\right) - \left(1-e^{-\lambda y}\right) \\
&=& e^{-\lambda y}(1-e^{-\lambda})
\end{eqnarray}
[/math]
となり[math] \lambda = -\log (1-p)[/math]を代入すると
[math]
P(Y = y) = (1-p)^yp
[/math]
となり[math]Y[/math]はパラメタ[math]p[/math]の幾何分布に従う。
問5
[math]
U_{1} \times \cdots \times U_{M}>e^{-\lambda}>U_{1} \times \cdots \times U_{M} \times U_{M+1}
[/math]
を満たすとする。この時、[math]M[/math]はパラメタ[math]\lambda[/math]のポアソン分布に従うことを示せ。
[math]
\begin{eqnarray}
&& \prod_{i=1}^M U_i > e^{-\lambda} > \prod_{i=1}^{M+1} U_i \\
&\Leftrightarrow& \sum_{i=1}^{M} \log U_i > -\lambda > \sum_{i=1}^{M+1} \log U_i \\
&\Leftrightarrow& \sum_{i=1}^{M}-\lambda^{-1}\log U_i < 1 < \sum_{i=1}^{M+1}-\lambda^{-1}\log U_i
\end{eqnarray}
[/math]
問3より[math]-\lambda^{-1}\log U_i[/math]は互いに独立なパラメタ[math]\lambda[/math]の指数分布に従う。これより上式は
発生間隔がパラメタ[math]\lambda[/math]の指数分布に従う事象が時刻0から1にちょうど[math]M[/math]回発生する
ことを意味しているので[math]M[/math]はパラメタ[math]\lambda[/math]のポアソン分布に従う。
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