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「【統計検定対策】順序統計量」などで事前に準備していた人は問3の期待値計算までは簡単に解けたと思います。
問3の分散を出す際に順序統計量の同時確率を求めるところが難しいですが、それまでの部分点を十分取れる問題セットだと思います。
問題
問1
まず一様分布[math]U(0, 1)[/math]の確率密度関数を[math]f_U(x)[/math], 累積分布関数を[math]F_U(x)[/math]とすると
[math]
\begin{eqnarray}
f_U(x) &=& \begin{cases} 1 &(0\leq x \leq 1) \\ 0 &({\rm otherwise}) \end{cases} \\
F_U(x) &=& \begin{cases} 0 &(x<0) \\ x &(0\leq x \leq 1) \\ 1 &(x > 1) \end{cases} \\
\end{eqnarray}
[/math]
である。
「[math]Y_1 \leq y[/math]」は「[math]X_i[/math]のいずれかが[math]y[/math]以下」と同値なので[math]Y_1[/math]の累積分布関数は
[math]
\begin{eqnarray}
F_{Y_1}(y) &=&
P(Y_1 \leq y) \\
&=& 1 – P(X_1 > y)P(X_2 > y)P(X_3 > y) \\
&=& 1 – \left(1 – F_U(y)\right)^3
\end{eqnarray}
[/math]
である。これより[math]Y_1[/math]の確率密度関数は
[math]
\begin{eqnarray}
f_1(y) &=& \dfrac{d}{dy}F_{Y_1}(y) \\
&=& 3\left(1 – F_U(y)\right)^2f_U(y) \\
&=& \begin{cases}
3(1-y)^2 &(0\leq y \leq 1) \\
0 &({\rm otherwise})
\end{cases}
\end{eqnarray}
[/math]
である。
「[math]Y_3 \leq y[/math]」は「[math]X_i[/math]のいずれも[math]y[/math]以下」と同値なので[math]Y_3[/math]の累積分布関数は
[math]
\begin{eqnarray}
F_{Y_3}(y) &=&
P(Y_3 \leq y) \\
&=& P(X_1 \leq y)P(X_2 \leq y)P(X_3 \leq y) \\
&=& F_U(y)^3
\end{eqnarray}
[/math]
である。これより[math]Y_3[/math]の確率密度関数は
[math]
\begin{eqnarray}
f_3(y) &=& \dfrac{d}{dy}F_{Y_3}(y) \\
&=& 3F_U(y)^2f_U(y) \\
&=& \begin{cases}
3y^2 &(0\leq y \leq 1) \\
0 &({\rm otherwise})
\end{cases}
\end{eqnarray}
[/math]
である。
次に期待値を求めると
[math]
\begin{eqnarray}
E[Y_1] &=& \int_{-\infty}^\infty yf_1(y)dy \\
&=& \int_0^1 3y(1-y)^2 dy \\
&=& \dfrac{1}{4}
\end{eqnarray}
[/math]
および
[math]
\begin{eqnarray}
E[Y_3] &=& \int_{-\infty}^\infty yf_3(y)dy \\
&=& \int_0^1 3y^3 dy \\
&=& \dfrac{3}{4}
\end{eqnarray}
[/math]
である。
問2
[math]y[/math]を固定し確率変数[math]W[/math]を「[math]X_i \leq y[/math]を満たす個数」と定めると[math]W[/math]は二項分布[math]B(3, F_U(y))[/math]に従う。「[math]Y_2 \leq y[/math]」は「[math]W=2[/math]または[math]W=3[/math]」と同値なので[math]Y_2[/math]の累積分布関数は
[math]
\begin{eqnarray}
F_{Y_2}(y) &=&
P(Y_2 \leq y) \\
&=& P(W=2) + P(W=3) \\
&=& {}_{3}C_{2} F_U(y)^2(1-F_U(y))+F_U(y)^{3} \\
&=& 3F_U(y)^2 – 2F_U(y)^3
\end{eqnarray}
[/math]
である。これより[math]Y_2[/math]の確率密度関数は
[math]
\begin{eqnarray}
f_2(y) &=& \dfrac{d}{dy}F_{Y_2}(y) \\
&=& 6F_U(y)f_U(y)-6F_U(y)^2f_U(y) \\
&=& \begin{cases}
6y(1-y) &(0\leq y \leq 1) \\
0 &({\rm otherwise})
\end{cases}
\end{eqnarray}
[/math]
である。これより
[math]
P(Y_2<0.5) = \int_0^{0.5}6y(1-y) = \dfrac{1}{2}
[/math]
である。
問3
まず期待値を求める。
[math]
E[Z] = E[Y_3]-E[Y_1]=\dfrac{1}{2}
[/math]
次に分散は
[math]
\begin{eqnarray}
V[Z] &=& V[Y_3-Y_1] \\
&=& V[Y_1] + V[Y_3] – 2Cov[Y_1, Y_3]
\end{eqnarray}
[/math]
であり各項を求めれば良い。[math]E[Y_1^2],\ E[Y_3^2][/math]はそれぞれ[math]\dfrac{1}{10},\ \dfrac{3}{5}[/math]なので
[math]
\begin{eqnarray}
V[Y_1] &=& E[Y_1^2] – E[Y_1]^2 = \dfrac{3}{80} \\
V[Y_3] &=& E[Y_3^2] – E[Y_3]^2 = \dfrac{3}{80}
\end{eqnarray}
[/math]
である。次に共分散は
[math]
Cov(Y_1, Y_3) = E[Y_1Y_3] – E[Y_1]E[Y_3]
[/math]
なので[math]E[Y_1Y_3][/math]を求めればよい。確率変数[math]Y_1, Y_3[/math]の同時確率密度関数を[math]f_{Y_1,Y_3}(y_1, y_3)[/math]とすると[math]Y_1,\ Y_3[/math]がそれぞれ区間[math][y_1, y_1+dy_1], [y_3, y_3+dy_3],\ (y_1 < y_3)[/math]に入る確率は[math]X_i[/math]が
- 区間[math][y_1, y_1+dy_1][/math]: 1つ
- 区間[math](y_1, y_3)[/math]: 1つ
- 区間[math][y_3, y_3+dy_3][/math]: 1つ
に入る確率なので
[math]
\begin{eqnarray}
&&
f_{Y_1,Y_3}(y_1, y_3)dy_1dy_3 \\
&=& \dfrac{3!}{1!1!1!}f_X(y_1)dy_1(F_X(y_3)-F_X(y_1))f_X(y_3)dy_3
\end{eqnarray}
[/math]
が成立する。これより
[math]
\begin{eqnarray}
&&
f_{Y_1,Y_3}(y_1, y_3) \\
&=& \begin{cases} 6(y_3-y_1) &(0\leq y_1 \leq y_3 \leq 1) \\ 0 &({\rm otherwise}) \end{cases}
\end{eqnarray}
[/math]
である。したがって
[math]
\begin{eqnarray}
&&
E[Y_1Y_3] \\
&=& \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty
y_1y_3 f_{Y_1,Y_3}(y_1, y_3) dy_1 dy_3 \\
&=& \int_{0}^1 \int_{0}^{y_3}
6y_1y_3(y_3-y_1)dy_1 dy_3 \\
&=& \dfrac{1}{5}
\end{eqnarray}
[/math]
となり共分散[math]Cov(Y_1, Y_3)=\frac{1}{5}-\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{80}[/math]を得る。以上より
[math]
V[Z] = \dfrac{3}{80} + \dfrac{3}{80} – 2\cdot\dfrac{1}{80} = \dfrac{1}{20}
[/math]
である。
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