【統計検定1級過去問】2018年（統計数理）大問2

箱の中に[math]N(\geq 2)[/math]個の球があり赤玉が[math]M[/math]個、青玉が[math]N-M[/math]個入っている。この箱から非復元抽出で[math]n[/math]個の球を取り出す。第[math]i[/math]回目の抽出結果を表す確率変数を[math]X_i[/math]とし赤玉の場合は[math]1[/math], 青玉の場合は[math]0[/math]とする。この時、以下の問いに答えよ。

1. [math]P(X_i = 1)[/math]および[math]P(X_i=1,\ X_j=1)\ (i\ne j)[/math]を求めよ。
2. [math]E[X_i],\ V[X_i],\ Cov(X_i, X_j)\ (i\ne j)[/math]を求めよ。
3. [math]X=\sum_{i=1}^n X_i[/math]とする時、[math]P(X=x)[/math]を求めよ。
4. [math]E[X],\ V[X][/math]を求めよ。
5. 箱の中に青玉のみ[math]N[/math]個（ただし[math]N[/math]は未知）入っている。[math]N[/math]を推定するために箱の中に赤玉を[math]K[/math]個入れ、よくかき混ぜたのち非復元抽出で[math]n[/math]個取り出し、その中の赤玉の個数を[math]X[/math]とする。[math]K,\ X,\ n[/math]を用いて[math]N[/math]の推定量[math]\hat{N}[/math]を作れ。さらに[math]N,\ X[/math]が十分大きいとして[math]\epsilon = \frac{\sqrt{V[\hat{N}]}}{N}[/math]を求めよ。