【統計検定1級過去問】2019年（統計数理）大問4 解答例

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ネイマン・ピアソンの基本定理に関する問題が出題されました。

限られた準備時間の中でネイマン・ピアソンの基本定理まで手が回らないケースも多いと思いますが、統計学のページで紹介している

• 仮説検定
• 尤度比検定
• 仮説検定の過誤と検出力関数
• 一様最強検出力検定とネイマン・ピアソンの補題

などで準備^[1]なお、記事中の尤度比とこの問題の尤度比は分子、分母が入れ替わっていますが本質的には同じ議論になります。していた人には解きやすい問題だったと思います。

問題

（出典：統計検定HP「統計検定 1級の過去問題」。問題文を一部略記。）

問1

第一種の過誤確率は「帰無仮説が正しい場合に帰無仮説を棄却してしまう確率」なので

[math]
\begin{eqnarray}
\alpha &=& P\left(X\in R\ |\ \theta=0\right) \\
&=& \int_0^3 \dfrac{1}{\pi(1+x^2)} dx \\
&=& \dfrac{1}{\pi}\left(\tan^{-1} 3-\tan^{-1} 1\right) \\
&=& \dfrac{1}{\pi}\left(1.2349 – \dfrac{\pi}{4}\right) \\
&=& 0.148
\end{eqnarray}
[/math]

である。

問2

第二種の過誤確率は「対立仮説が正しい場合に帰無仮説を棄却しない確率」なので

[math]
\begin{eqnarray}
1-\beta &=& 1 – P\left(X\notin R\ |\ \theta=1\right) \\
&=& P\left(X\in R\ |\ \theta=1\right) \\
&=& \int_0^3 \dfrac{1}{\pi\left\{1+(x-1)^2\right\}} dx \\
&=& \dfrac{1}{\pi}\left(\tan^{-1} 2-\tan^{-1} 0\right) \\
&=& \dfrac{1.107}{3.1416} \\
&=& 0.352
\end{eqnarray}
[/math]

である。

問3

[math]\lambda(x)[/math]を求めると

[math]
\begin{eqnarray}
\lambda(x) &=& \dfrac{f_1(x)}{f_0(x)} \\
&=& \dfrac{1+x^2}{1+(x-1)^2}
\end{eqnarray}
[/math]

である。これより[math]\lambda(1)=\lambda(3)=2[/math]である。

次に[math]\lambda(x)[/math]の概形を求める。まず

[math]
\lambda(x) = \dfrac{1/x^2+1}{1/x^2+(1-1/x)^2}
[/math]

と変形できるので[math]x\to \pm \infty[/math]の時、[math]\lambda(x)\to 1[/math]である。また

[math]
\log\lambda(x) = \log(1+x^2) – \log\left(1+(x-1)^2\right)
[/math]

より

[math]
\dfrac{d}{dx}\log\lambda(x) = \dfrac{2x}{1+x^2} – \dfrac{2(x-1)}{1+(x-1)^2} = 0
[/math]

を解いて[math]x=\frac{1+\pm\sqrt{5}}{2}[/math]で極値をとる。以上より概形を示すと下図になる。

問4

考えている検定は単純仮説に対する検定であり、棄却域[math]R = \left\{x\ |\ 1 < x < 3\right\}[/math]は上図より尤度比に基づく棄却域[math]\left\{x\ |\ \lambda(x) > 2\right\}[/math]一致する。よって、ネイマン・ピアソンの基本定理からこの検定はサイズ[math]\alpha[/math]を有意水準とする検定の中で最強力検定である。

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