【統計検定1級過去問】2019年(統計数理)大問2

投稿者: | 2020-04-25

2019年 統計検定1級(統計数理)大問2

確率変数[math]X_1, X_2[/math]は互いに独立で確率密度関数

[math]
f(x) = \begin{cases}\lambda e^{-\lambda x} &(x > 0) \\ 0 &(x \leq 0)\end{cases}
[/math]

を持つ指数分布に従う。[math]U=X_1 + X_2, \bar{X}=\frac{U}{2}[/math]とおくとき以下の問いに答えよ。

  1. [math]E[U][/math]を求めよ。
  2. [math]U[/math]の確率密度関数[math]g(u)[/math]を求めよ。
  3. 期待値[math]E\left[\frac{1}{U}\right][/math]を求めよ。
  4. [math]\alpha[/math]を正の定数としパラメタ[math]\theta=\frac{1}{\lambda}[/math]を[math]\alpha \bar{X}[/math]で推定する。損失関数を

    [math]
    L(\alpha\bar{X}, \theta) = \dfrac{\alpha\bar{X}}{\theta} + \dfrac{\theta}{\alpha\bar{X}} – 2
    [/math]

    として期待値[math]R(\alpha, \theta)=E\left[L(\alpha\bar{X}, \theta)\right][/math]と期待値が最小となる[math]\alpha[/math]の値を求めよ。

(出典:統計検定HP「統計検定 1級の過去問題」。問題文を一部略記。)

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