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大問4では2変量正規分布の相関係数、条件付き分布に関する問題が出題されました。
基本に忠実に計算を進めれば正解できる問題が並んでいるのでぜひとも完答したい問題セットだと思います。
問題
（出典：統計検定HP「統計検定 1級の過去問題」。問題文を一部略記。）
問1
[math]X, Y\sim N(0,\ 1),\ Z=a+kX+Y[/math]より[math]Z[/math]は正規分布に従い[math]E[Z]=a[/math], [math]V[Z]=k^2 + 1[/math]なので[math]Z[/math]は[math]N(a,\ k^2 + 1)[/math]に従う。
問2
まず共分散[math]\sigma_{XZ}[/math]を求めると
[math]
\begin{eqnarray}
\sigma_{XZ} &=& E[X(Z-a)] \\
&=& E[X(kX+Y)] \\
&=& k
\end{eqnarray}
[/math]
になる。これより相関係数[math]\rho_{XZ}[/math]は
[math]
\begin{eqnarray}
\rho_{XZ} &=& \dfrac{\sigma_{XZ}}{\sigma_{X}\sigma_{Z}} \\
&=& \dfrac{k}{\sqrt{k^2+1}}
\end{eqnarray}
[/math]
である。
問3
[math](X,\ Z)[/math]は2変量正規分布に従いその同時確率密度関数[math]f_{XZ}(x,z)[/math]は
[math]
f_{XZ}(x,z) = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{|\Sigma|}}\exp\left[-\frac{1}{2}\mathbf{x}^T\Sigma^{-1}\mathbf{x}\right]
[/math]
で与えられる。ここで[math]\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x \\ z-a\end{pmatrix}[/math], [math]\Sigma=\begin{pmatrix}\sigma_X^2 & \sigma_{XZ} \\ \sigma_{XZ} & \sigma_Z^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & k \\ k & k^2+1 \end{pmatrix}[/math]であり[math]|\Sigma|=1[/math], [math]\Sigma^{-1}=\begin{pmatrix}k^2 + 1 & -k \\ -k & 1 \end{pmatrix}[/math]となるので[math]\exp[/math]の中は
[math]
\begin{eqnarray}
&& -\frac{1}{2}\mathbf{x}^T\Sigma^{-1}\mathbf{x} \\
&=& -\frac{(k^2+1)x^2 -2kx(z-a) + (z-a)^2}{2}
\end{eqnarray}
[/math]
になる。
これより[math]X=x[/math]を与えた時の条件付き確率分布の確率密度関数[math]f_{Z|X}(z|x)[/math]は
[math]
\begin{eqnarray}
&& f_{Z|X}(z|x) \\
&=& \dfrac{f_{XZ}(x,z)}{f_X(x)} \\
&=& \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{1}{2}\mathbf{x}^T\Sigma^{-1}\mathbf{x}+\frac{x^2}{2}\right]
\end{eqnarray}
[/math]
であり[math]\exp[/math]の中は
[math]
\begin{eqnarray}
&& -\frac{1}{2}\mathbf{x}^T\Sigma^{-1}\mathbf{x}+\frac{x^2}{2} \\
&=& -\frac{k^2x^2 -2kx(z-a) + (z-a)^2}{2} \\
&=& -\frac{(z-a-kx)^2}{2}
\end{eqnarray}
[/math]
となるので
[math]
f_{Z|X}(z|x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{(z-a-kx)^2}{2}\right]
[/math]
を得る。したがって[math]X=x[/math]を与えた時の[math]Z[/math]の条件付き分布は[math]N(a+kx,\ 1)[/math]である。
問4
[math]Z=z[/math]を与えた時の条件付き確率分布の確率密度関数[math]f_{X|Z}(x|z)[/math]は[math]f_Z(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_Z^2}}\exp\left[-\frac{(z-a)^2}{2\sigma_Z^2}\right][/math](ただし[math]\sigma_Z^2=k^2+1[/math])より
[math]
\begin{eqnarray}
&& f_{X|Z}(x|z) \\
&=& \dfrac{f_{XZ}(x,z)}{f_Z(z)} \\
&=& \dfrac{1}{\sqrt{2\pi(1/\sigma_Z)^2}}\\
&&\times \exp\left[-\frac{1}{2}\mathbf{x}^T\Sigma^{-1}\mathbf{x}+\frac{(z-a)^2}{2\sigma_Z^2}\right]
\end{eqnarray}
[/math]
であり[math]\exp[/math]の中を平方完成すると
[math]
\begin{eqnarray}
&& -\dfrac{1}{2}\mathbf{x}^T\Sigma^{-1}\mathbf{x}+\dfrac{(z-a)^2}{2\sigma_Z^2} \\
&=& -\dfrac{1}{2(1/\sigma_Z)^2}\left(x-\dfrac{k(z-a)}{k^2+1}\right)^2
\end{eqnarray}
[/math]
となるので
[math]
\begin{eqnarray}
&& f_{X|Z}(x|z) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi(1/\sigma_Z)^2}} \\
&& \times \exp\left[-\dfrac{\left(x-\frac{k(z-a)}{k^2+1}\right)^2}{2(1/\sigma_Z)^2}\right]
\end{eqnarray}
[/math]
を得る。したがって[math]Z=z[/math]を与えた時の[math]X[/math]の条件付き分布は[math]N\left(\frac{k(z-a)}{k^2+1},\ \frac{1}{k^2+1}\right)[/math]である。
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