【統計検定1級過去問】2018年（統計数理）大問5

互いに独立な確率変数[math]X_1,\ X_2,\ X_3[/math]は一様分布[math]U(0, 1)[/math]に従う。[math]X_1,\ X_2,\ X_3[/math]の順序統計量を[math]Y_1,\ Y_2,\ Y_3[/math]とし[math]Z=Y_3-Y_1[/math]とする。以下の問いに答えよ。

1. [math]Y_1,\ Y_3[/math]の確率密度関数[math]f_1(y),\ f_3(y)[/math]および期待値[math]E[Y_1],\ E[Y_3][/math]を求めよ。
2. [math]Y_2[/math]の確率密度関数[math]f_2(y)[/math]および[math]P(Y_2<0.5)[/math]を求めよ。
3. [math]E[Z],\ V[Z][/math]を求めよ。