【統計検定1級過去問】2019年（統計数理）大問2

確率変数[math]X_1, X_2[/math]は互いに独立で確率密度関数

[math]
f(x) = \begin{cases}\lambda e^{-\lambda x} &(x > 0) \\ 0 &(x \leq 0)\end{cases}
[/math]

を持つ指数分布に従う。[math]U=X_1 + X_2, \bar{X}=\frac{U}{2}[/math]とおくとき以下の問いに答えよ。

1. [math]E[U][/math]を求めよ。
2. [math]U[/math]の確率密度関数[math]g(u)[/math]を求めよ。
3. 期待値[math]E\left[\frac{1}{U}\right][/math]を求めよ。
4. [math]\alpha[/math]を正の定数としパラメタ[math]\theta=\frac{1}{\lambda}[/math]を[math]\alpha \bar{X}[/math]で推定する。損失関数を

   [math]
   L(\alpha\bar{X}, \theta) = \dfrac{\alpha\bar{X}}{\theta} + \dfrac{\theta}{\alpha\bar{X}} – 2
   [/math]

   として期待値[math]R(\alpha, \theta)=E\left[L(\alpha\bar{X}, \theta)\right][/math]と期待値が最小となる[math]\alpha[/math]の値を求めよ。