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大問2はポアソン過程を題材に指数分布の平均や信頼限界を求める問題が出題されました。誘導に乗っていけば特に難しいところもなく完答できるのではと思います。
問題
- [math]N(0)=0[/math]
- [math]\{N(t),\ t\geq 0\}[/math]は独立増分
- 長さ[math]t[/math]の区間におけるイベント発生数は平均[math]\lambda t[/math]のポアソン分布に従う。つまり任意の[math]s,t \geq 0[/math]に対して以下が成立する。
[math]
P(N(t+s) – N(s)=n)=e^{-\lambda t}\dfrac{(\lambda t)^n}{n!}
[/math]
あるシステムの稼働開始からの[math]t[/math]時間経過時の累積故障数[math]N(t)[/math]は発生率[math]\lambda[/math]のポアソン過程に従っているとするとき、以下の問に答えよ。
（出典：統計検定HP「統計検定 1級の過去問題」。問題文を一部略記。）
問1
[math]
f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda t} &(x \geq 0) \\ 0 &(x < 0) \end{cases}
[/math]
である。指数分布の累積分布関数を[math]F(x)[/math]とするとき、指数分布の期待値と瞬間故障率[math]\dfrac{f(x)}{1-F(x)}[/math]との関係を示せ。
まず指数分布の累積分布関数[math]F(x)[/math]を求めると[math]x < 0[/math]のとき[math]F(x) = 0[/math]で[math]x \geq 0[/math]のとき
[math]
\begin{eqnarray}
F(x) &=& \int_0^x f(z)dz \\
&=& \lambda\left[\dfrac{e^{-\lambda z}}{-\lambda}\right]_0^{x} \\
&=& 1 – e^{-\lambda x}
\end{eqnarray}
[/math]
である。
つぎに指数分布の期待値を求めると
[math]
\begin{eqnarray}
&& \int_0^\infty xf(x)dx \\
&=& \lambda \left[ \dfrac{xe^{-\lambda x}}{-\lambda}\right]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-\lambda x}dx \\
&=& \left[ \dfrac{e^{-\lambda x}}{-\lambda}\right]_0^\infty \\
&=& \dfrac{1}{\lambda}
\end{eqnarray}
[/math]
であり[math]x \geq 0[/math]で
[math]
\dfrac{f(x)}{1-F(x)} = \lambda
[/math]
なので瞬間故障率[math]\dfrac{f(x)}{1-F(x)}[/math]は期待値の逆数と一致する。
問2
時刻[math]t[/math]に対して[math]P(X_1 > t)[/math]は「時刻[math]t[/math]で故障が1件も発生していない確率」になるので
[math]
\begin{eqnarray}
P(X_1 > t) &=& P(N(t)=0) \\
&=& e^{-\lambda t}
\end{eqnarray}
[/math]
である。これより[math]X_1[/math]の累積分布関数は
[math]
P(X_1 \leq t) = 1 – e^{-\lambda t}
[/math]
になり指数分布の累積分布関数に一致するので[math]X_1[/math]はパラメタ[math]\lambda[/math]の指数分布に従う。
問3
まず
[math]
MTTF = E[X_1] = \dfrac{1}{\lambda}
[/math]
なのでMTTFの[math]95\%[/math]下側信頼限界を求めるには[math]\lambda[/math]の上側[math]95\%[/math]上側信頼限界を求めれば良い。
[math]X_1 \sim Exp(\lambda)[/math]から標本[math]t_0[/math]を得た時、[math]\lambda[/math]の上側[math]95\%[/math]上側信頼限界を[math]\lambda_U[/math]とすると[math]T \sim Exp(\lambda_U)[/math]に対して
[math]
P(T \geq t_0) = 0.05
[/math]
が成立し、[math]P(T \geq t_0) = e^{-\lambda_U t_0}[/math]より
[math]
\lambda_U = – \dfrac{\log 0.05}{t_0}
[/math]
である。これよりMTTFの[math]95\%[/math]下側信頼限界[math]T_L[/math]は
[math]
\begin{eqnarray}
T_L &=& \dfrac{1}{\lambda_U} \\
&=& – \dfrac{t_0}{\log 0.05} \\
&\approx& \dfrac{t_0}{3}
\end{eqnarray}
[/math]
である。
また、[math]t_0[/math]時間経過時まで1度も故障が観測されていなかった場合のMTTFの[math]95\%[/math]下側信頼限界は[math]t_0/3[/math]より大きくなる。
問4
[math]P(X_1 > 1000) \geq 0.999[/math]となる[math]\lambda[/math]を求めれば良い。[math]P(X_1 > 1000)=e^{-1000\lambda}[/math]と[math]\log 0.999=\log(1-0.001)\approx -0.001[/math]より
[math]
\begin{eqnarray}
&& e^{-1000\lambda} \geq 0.999 \\
&\Leftrightarrow& -1000\lambda \geq \log 0.999 \\
&\Leftrightarrow& \lambda \leq -\dfrac{\log 0.999}{1000}\approx 10^{-6}
\end{eqnarray}
[/math]
より[math]\lambda[/math]は[math]10^{-6}[/math]以下であれば良い。
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