【統計検定1級過去問】2017年（理工学）大問2

あるイベントの発生に関する計数過程[math]\{N(t),\ t\geq 0\}[/math]が次の3条件を満たす時、発生率[math]\lambda (> 0)[/math]のポアソン過程という。

1. [math]N(0)=0[/math]
2. [math]\{N(t),\ t\geq 0\}[/math]は独立増分
3. 長さ[math]t[/math]の区間におけるイベント発生数は平均[math]\lambda t[/math]のポアソン分布に従う。つまり任意の[math]s,t \geq 0[/math]に対して以下が成立する。

   [math]
   P(N(t+s) – N(s)=n)=e^{-\lambda t}\dfrac{(\lambda t)^n}{n!}
   [/math]

あるシステムの稼働開始からの[math]t[/math]時間経過時の累積故障数[math]N(t)[/math]は発生率[math]\lambda[/math]のポアソン過程に従っているとするとき、以下の問に答えよ。

1. パラメタ[math]\lambda > 0[/math]の指数分布[math]Exp(\lambda)[/math]の確率密度関数は

   [math]
   f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda t} &(x \geq 0) \\ 0 &(x < 0) \end{cases} [/math]

   である。指数分布の累積分布関数を[math]F(x)[/math]とするとき、指数分布の期待値と瞬間故障率[math]\dfrac{f(x)}{1-F(x)}[/math]との関係を示せ。

2. [math]X_1[/math]を最初の故障までの時間を表す確率変数とする。この時、ポアソン過程の定義を用いて[math]X_1[/math]はパラメタ[math]\lambda[/math]の指数分布に従うことを示せ。
3. 最初の故障が[math]t_0[/math]時間経過時に観測された。この時、故障するまでの平均時間MTTF(Mean Time To Failure)の[math]95\%[/math]下側信頼限界を求めよ。また、[math]t_0[/math]時間経過時まで1度も故障が観測されていなかった場合のMTTFの[math]95\%[/math]下側信頼限界はどうなるか述べよ。
4. [math]1000[/math]時間無故障である確率が[math]0.999[/math]以上であるようにするには故障の発生率[math]\lambda[/math]がどれくらいであれば良いかを求めよ。ただし、[math]x \approx 0[/math]の時、[math]\log(1-x)\approx -x[/math]であることを用いてよい。