【統計検定1級過去問】2019年（統計数理）大問1

非負の整数値をとる離散型確率変数[math]X[/math]に対し確率母関数を

[math]

G_X(t) = E\left[ t^X \right] = \sum_{k}t^k P(X = k)\quad (-1 \leq t \leq 1)
[/math]

で定義する。この時、以下の問いに答えよ。

1. [math]X[/math]の期待値、分散を[math]G^{\prime}_X(t), G^{\prime\prime}_X(t)[/math]を用いて表せ。
2. [math]X[/math]が二項分布[math]B(n,p)[/math]に従う時、[math]G_X(t)[/math]と期待値、分散を求めよ。
3. 正の実数[math]r[/math]とすべての[math]0< t \leq 1[/math]に対し

   [math]
   
P(X \leq r) \leq t^{-r} G_X(t)
   [/math]

   が成立することを示せ。（ヒント: [math]G_X(t)[/math]の定義の和を[math]k\leq r[/math]と[math]k > r[/math]に分ける。）

4. [math]X[/math]が二項分布[math]B(n,p)[/math]に従う時、実数[math]0 < a < p[/math]に対し

   [math]
   
P(X \leq an) \leq \left(\dfrac{p}{a}\right)^{an}\left(\dfrac{1-p}{1-a}\right)^{(1-a)n}
   [/math]

   が成立することを示せ。（ヒント: 問3の右辺の[math]t[/math]に関する最小値を求める。）