【統計検定1級過去問】2015年（理工学）大問1

1. 壷から球を1つランダムに取り出す。
2. 取り出した球が白ならば白い球を1つ壷に加え1に戻る。
3. 取り出した球が赤ならば壷の中の白い球の数を数え、その数を得点[math]X[/math]としゲームを終了する。

以下の問に答えよ。

1. 得点[math]X[/math]が[math]k\in\mathbb{N}[/math]になる確率[math]P(X=k)[/math]を求めよ。
2. 関数[math]f(k)=P(X=k)[/math]は確率関数になることを示せ。
3. [math]X[/math]の平均、分散が存在するか述べよ。

以下では[math]P(k)=\dfrac{18}{k(k+1)(k+2)(k+3)},\ k\in\mathbb{N}[/math]について答えよ。

4. [math]P(k)[/math]は確率関数になることを示せ。以下、この確率関数の分布に従う確率変数を[math]Y[/math]とする。
5. [math]E[Y][/math]を求めよ。
6. [math]E[Y(Y+1)][/math]を求め、[math]V[Y][/math]を求めよ。