【統計検定1級過去問】2015年(理工学)大問2 解答例

投稿者: | 2017-09-08

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大問2は生存時間解析から出題されました。応用的なトピックは素直な問題が多いという傾向の通り

  • 有名事実の証明(問1, 2)
  • 具体的な分布を仮定し条件付き平均値の算出(問3~5)

と生存時間解析を学んだことがある人には解きやすい問題セットだと思います。

問題

生存時間を表す確率変数[math]T[/math]に対してハザード関数[math]\lambda(t)[/math]を

[math]
\lambda(t)=\displaystyle\lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{P(t < T < t+\Delta t\ |\ T > t)}{\Delta t},\quad t\geq 0
[/math]

とし、[math]\Lambda(t)=\int_{0}^{t}\lambda(u)du(t\geq 0)[/math]とおく。また、

  • [math]F(t)[/math]: [math]T[/math]の累積分布関数
  • [math]f(t)[/math]: [math]T[/math]の確率密度関数
  • [math]\phi(t)[/math]: [math]N(0,\ 1)[/math]の確率密度関数
  • [math]\Phi(t)[/math]: [math]N(0,\ 1)[/math]の累積分布関数

とするとき、以下の問に答えよ。

(出典:「統計検定 1級・準1級 公式問題集」。問題文を一部略記。)

問1

[math]\lambda(t)[/math]を[math]F(t),\ f(t)[/math]を用いて表せ。

[math]
\begin{eqnarray}
&& P(t < T < t+\Delta t\ |\ T > t) \\
&=& \dfrac{P(t < T < t+\Delta t)}{P(T > t)} \\
&=& \dfrac{F(t+\Delta t) – F(t)}{1 – F(t)}
\end{eqnarray}
[/math]

なので

[math]
\begin{eqnarray}
&& \lambda(t) \\
&=& \lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{P(t < T < t+\Delta t\ |\ T > t)}{\Delta t} \\
&=& \lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{F(t+\Delta t) – F(t)}{\Delta t(1 – F(t))} \\
&=& \dfrac{F'(t)}{1-F(t)} \\
&=& \dfrac{f(t)}{1-F(t)}
\end{eqnarray}
[/math]

を得る。

問2

[math]F(t)[/math]を[math]\Lambda(t)[/math]を用いて表せ。

問1の途中式[math]\lambda(t) = \frac{F'(t)}{1-F(t)} [/math]より

[math]
\lambda(t) = -\dfrac{d}{dt}\log(1-F(t))
[/math]

が成立することに注意すると

[math]
\begin{eqnarray}
\Lambda(t) &=& \int_{0}^t \lambda(s) ds \\
&=& -\log(1-F(t))
\end{eqnarray}
[/math]

なので

[math]
F(t) = 1 – e^{-\Lambda(t)}
[/math]

を得る。

問3

[math]\lambda(t),\ t\geq 0[/math]が

[math]
\begin{eqnarray}
\lambda(t) &=& \dfrac{\frac{1}{\sigma}\phi\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)}{A(t)} \\
A(t) &=& 1-\Phi\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)
\end{eqnarray}
[/math]

であるとき[math]T[/math]の確率密度関数[math]f(t)[/math]を求め、分布の名称を答えよ。

問2より[math]\Lambda(t)[/math]が分かれば[math]F(t)[/math]が分かり、問1より[math]\lambda(t), F(t)[/math]から[math]f(t)[/math]が求まるのでまず[math]\Lambda(t)[/math]を求める。

[math]
\begin{eqnarray}
&& \Lambda(t) \\
&=& \int_{0}^{t}\dfrac{\frac{1}{\sigma}\phi\left(\frac{u-\mu}{\sigma}\right)}{A(u)}du
\end{eqnarray}
[/math]

ここで[math]s=\frac{u-\mu}{\sigma}[/math]と置換して

[math]
\begin{eqnarray}
&=& \int_{-\mu / \sigma}^{(t-\mu) / \sigma}\dfrac{\phi(s)}{1-\Phi(s)}du \\
&=& \left[-\log\left(1-\Phi(s)\right)\right]_{-\mu / \sigma}^{(t-\mu) / \sigma} \\
&=& -\left(\log A(t) – \log A(0)\right)
\end{eqnarray}
[/math]

なので

[math]
\begin{eqnarray}
1-F(t) &=& \exp[-\Lambda(t)] \\
&=&\dfrac{A(t)}{A(0)}
\end{eqnarray}
[/math]

より

[math]
\begin{eqnarray}
f(t) &=& \lambda(t)(1-F(t)) \\
&=& \dfrac{\frac{1}{\sigma}\phi\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)}{A(0)}
\end{eqnarray}
[/math]

を得る。この分布は正規分布[math]N(\mu,\sigma^2)[/math]の[math]t\leq 0[/math]を切断した分布である。

問4

定数[math]\alpha\in (0, 1)[/math]に対し[math]P(T\leq c)=\alpha[/math]となる定数[math]c[/math]を求めよ。

[math]
\begin{eqnarray}
\alpha &=& \int_0^c \dfrac{\frac{1}{\sigma}\phi\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)}{A(0)} dt \\
&=& \dfrac{1}{A(0)}\int_{-\mu / \sigma}^{(t-\mu) / \sigma} \phi(s)ds \\
&=& \dfrac{1}{A(0)}\left(\Phi\left(\dfrac{c-\mu}{\sigma}\right) – \Phi\left(-\dfrac{\mu}{\sigma}\right) \right) \\
&=& \dfrac{1}{A(0)}(A(0) – A(c))
\end{eqnarray}
[/math]

より

[math]
\begin{eqnarray}
&&A(c) = (1-\alpha)A(0) \\
&\Leftrightarrow& \Phi\left(\dfrac{c-\mu}{\sigma}\right) = 1 – (1-\alpha)A(0) \\
&\Leftrightarrow& \dfrac{c-\mu}{\sigma} = \Phi^{-1}\left(1 – (1-\alpha)A(0)\right) \\
&\Leftrightarrow& c = \mu + \sigma\Phi^{-1}\left(1 – (1-\alpha)A(0)\right)
\end{eqnarray}
[/math]

を得る。

問5

問4の[math]T,\ c[/math]に対して

[math]
E[T\ |\ T>c] = \mu + \dfrac{\sigma\phi\left(\Phi^{-1}\left(1-(1-\alpha)A(0)\right)\right)}{(1-\alpha)A(0)}
[/math]

となることを示せ。

問4の途中式から

[math]
\begin{eqnarray}
P(T > c) &=& 1-\alpha \\
&=& \dfrac{A(c)}{A(0)}
\end{eqnarray}
[/math]

に注意すると

[math]
\begin{eqnarray}
&& E[T\ |\ T > c] \\
&=& \dfrac{1}{P(T > c)}\int_{c}^\infty tf(t)dt \\
&=& \dfrac{1}{A(c)}\int_{c}^\infty \frac{t}{\sigma}\phi\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right) dt
\end{eqnarray}
[/math]

ここで[math]s=\frac{t-\mu}{\sigma}[/math]と置換して

[math]
\begin{eqnarray}
&=& \dfrac{1}{A(c)}\int_{(c-\mu) / \sigma}^\infty (\mu+\sigma s)\phi(s) ds \\
&=& \dfrac{1}{A(c)}\left[\mu \int_{(c-\mu) / \sigma}^\infty \phi(s)ds \right.\\
&& \quad\quad + \left. \sigma \int_{(c-\mu) / \sigma}^\infty s\phi(s)ds \right]
\end{eqnarray}
[/math]

となる。第一項は

[math]
\begin{eqnarray}
&& \mu\int_{(c-\mu) / \sigma}^\infty \phi(s)ds\\
&=& \mu\left(1 – \Phi\left(\dfrac{c-\mu}{\sigma}\right)\right) \\
&=& \mu A(c)
\end{eqnarray}
[/math]

であり、第二項は[math]\phi'(s)=-s\phi(s)[/math]に注意すると

[math]
\begin{eqnarray}
&& \sigma\int_{(c-\mu) / \sigma}^\infty s\phi(s)ds \\
&=& \sigma\left[-\phi(s) \right]_{(c-\mu) / \sigma}^\infty \\
&=& \sigma\phi\left(\dfrac{c-\mu}{\sigma}\right)
\end{eqnarray}
[/math]

なので

[math]
E[T\ |\ T > c] = \mu + \dfrac{\sigma\phi\left(\dfrac{c-\mu}{\sigma}\right)}{A(c)}
[/math]

が成立し、ここから[math]c[/math]を消去すると

[math]
\begin{eqnarray}
&&E[T\ |\ T>c] \\
&=& \mu + \dfrac{\sigma\phi\left(\Phi^{-1}\left(1-(1-\alpha)A(0)\right)\right)}{(1-\alpha)A(0)}
\end{eqnarray}
[/math]

を得る。

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