【統計検定1級過去問】2015年(理工学)大問3 解答例

投稿者: | 2017-09-09

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大問3は指数分布族を少し限定したクラスに対するモーメント法をテーマとした問題が出題されました。

モーメント法は頻出分野ですが

  • 問2でモデルMに含まれる確率密度関数の全積分に帰着するところ
  • 問3で混合モデルに対するモーメント母関数を求めるところ

など思わず手が止まってしまうポイントが用意されており他の大問と比べて難易度が高いと思います。

問題

確率変数[math]Y[/math]は以下の確率密度関数

[math]
f(y;\theta, \psi) = \exp\left[\dfrac{y\theta-b(\theta)}{\psi}+c(y;\psi)\right]
[/math]

に従うとする。ここで[math]\theta, \psi>0[/math]はパラメータで[math]b(\theta), c(y;\psi)[/math]は適当な関数とする。このモデルを「モデルM」と呼ぶとき、以下の問に答えよ。

(出典:「統計検定 1級・準1級 公式問題集」。問題文を一部略記。)

問1

平均[math]\frac{1}{\beta}[/math]の指数分布はモデルMに含まれることを示せ。

平均[math]\frac{1}{\beta}[/math]の指数分布の確率密度関数は

[math]
\begin{eqnarray}
f(y) &=& \beta \exp(-\beta y) \\
&=& \exp[ (-\beta)y + \log(\beta) ]
\end{eqnarray}
[/math]

なので[math]\theta=-\beta[/math], [math]b(\theta)=-\log(-\theta)[/math], [math]\psi=1[/math], [math]c(y;\psi)=0[/math]と書けモデルMの1つである。

問2

モーメント母関数[math]m(t)=E[e^{tY}][/math]は

[math]
m(t) = \exp \left[\dfrac{b(\theta+t\psi)-b(\theta)}{\psi}\right]
[/math]

となることを示せ。また、適当な条件下で[math]E[Y]=b'(\theta), V[Y]=\psi b”(\theta)[/math]となることを示せ。

[math]
\begin{eqnarray}
&&m(t)\\
&=& \int_{-\infty}^\infty e^{ty}f(y; \theta,\psi) dy \\
&=& \int_{-\infty}^\infty \exp\left[\dfrac{(\theta+\psi t)y-b(\theta)}{\psi} + c(y) \right]dy
\end{eqnarray}
[/math]

ここで

[math]
\begin{eqnarray}
&& \exp\left[\dfrac{(\theta+\psi t)y-b(\theta)}{\psi} + c(y) \right] \\
&=& \exp\left[\dfrac{(\theta+\psi t)y-b(\theta+\psi t)}{\psi} + c(y) \right. \\
&&\quad + \left. \dfrac{b(\theta+\psi t) – b(\theta)}{\psi} \right] \\
&=& f(y; \theta+\psi t, \psi)\exp\left[\dfrac{b(\theta+\psi t) – b(\theta)}{\psi}\right]
\end{eqnarray}
[/math]

なので

[math]
\begin{eqnarray}
&& m(t) \\
&=& \exp\left[\dfrac{b(\theta+\psi t) – b(\theta)}{\psi}\right] \\
&&\quad \times\int_{-\infty}^\infty f(y; \theta+\psi t, \psi)dy \\
&=& \exp\left[\dfrac{b(\theta+\psi t) – b(\theta)}{\psi}\right]
\end{eqnarray}
[/math]

を得る。

また、[math]t[/math]で微分して[math]m'(t)=b'(\theta+\psi t)m(t)[/math]なので[math]E[Y]=m'(0)=b'(\theta)[/math]である。さらに[math]t[/math]で微分して

[math]
\begin{eqnarray}
&&m”(t)\\
&=& \psi b”(\theta+\psi t)m(t) + b'(\theta+\psi t)^2m(t)
\end{eqnarray}
[/math]

より[math]E[Y^2]=\psi b”(\theta) + b'(\theta)^2[/math]なので

[math]
\begin{eqnarray}
V[Y] &=& E[Y^2] – E[Y]^2 \\
&=& \psi b”(\theta) + b'(\theta)^2 – b'(\theta)^2 \\
&=& \psi b”(\theta)
\end{eqnarray}
[/math]

を得る。

問3

1回の降雨量[math]X_1, X_2,\dots[/math]は互いに独立で平均[math]\frac{1}{\beta}[/math]の指数分布に従うとする。また、1年間に起きる降雨回数[math]N[/math]は[math]X_i[/math]とは独立に平均[math]\lambda > 0[/math]のポアソン分布に従うとする。この時、年間降水量[math]S=\sum_{i=1}^N X_i[/math]のモーメント母関数を求めよ。また、[math]b(x)=-\frac{1}{x}[/math]を使って問2の形式で表現せよ。そのときの[math]\psi, \theta[/math]を[math]\psi > 0[/math]であることに注意し[math]\beta, \lambda[/math]で表せ。

まず、平均[math]\frac{1}{\beta}[/math]の指数分布のモーメント母関数を[math]m_E(t)[/math]とすると問1, 2より

[math]
\begin{eqnarray}
m_E(t) &=& \exp[-\log(t-\beta)+\log(-\beta)] \\
&=& \dfrac{\beta}{\beta – t}
\end{eqnarray}
[/math]

であり平均[math]\lambda > 0[/math]のポアソン分布のモーメント母関数[math]m_P(t)[/math]とすると

[math]
\begin{eqnarray}
m_P(t) &=& \sum_{n=0}^\infty e^{tn}\dfrac{\lambda^n}{n!} \\
&=& e^{-\lambda}\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(\lambda e^t)^n}{n!} \\
&=& e^{-\lambda}\exp[\lambda e^t] \\
&=& \exp[\lambda (e^t-1)]
\end{eqnarray}
[/math]

である。これより年間降水量[math]S[/math]のモーメント母関数[math]m_S(t)[/math]は

[math]
\begin{eqnarray}
m_S(t) &=& E\left[e^{tS}\right] \\
&=& E\left[ E\left[ e^{t\sum_{i=1}^N X_i}\ |\ N \right]\right] \\
&=& E\left[ m_E(t)^N \right] \\
&=& E\left[ \exp[N\log m_E(t)]\right] \\
&=& m_P(\log m_E(t)) \\
&=& \exp\left[\lambda(m_E(t)-1)\right] \\
&=& \exp\left[\dfrac{\lambda t}{\beta – t}\right]
\end{eqnarray}
[/math]

である。

[math]b(x)=-\frac{1}{x}[/math]の時、

[math]
\dfrac{b(\theta+\psi t) – b(\theta)}{\psi} = \dfrac{t}{\theta(\theta + \psi t)}
[/math]

であり恒等的に

[math]
\begin{eqnarray}
&& \dfrac{t}{\theta(\theta + \psi t)} = \dfrac{\lambda t}{\beta – t} \\
&\Leftrightarrow& \lambda\theta(\theta + \psi t) = \beta – t
\end{eqnarray}
[/math]

が成立することから係数を比較し

[math]
\begin{eqnarray}
\theta &=& -\sqrt{\dfrac{\beta}{\lambda}} \\
\psi &=& \dfrac{1}{\sqrt{\lambda\beta}}
\end{eqnarray}
[/math]

を得る。

問4

[math]E[S], V[S][/math]を求めよ。また、[math]E[S]=\mu[/math]とするとき[math]V[S][/math]を[math]\mu, \psi[/math]で表せ。

問2, 3の結果から

[math]
\begin{eqnarray}
E[S] &=& b'(\theta) \\
&=& \dfrac{1}{\theta^2} \\
&=& \dfrac{\lambda}{\beta}
\end{eqnarray}
[/math]

であり

[math]
\begin{eqnarray}
V[S] &=& \psi b”(\theta) \\
&=& -\psi\dfrac{2}{\theta^{-3}} \\
&=& \dfrac{1}{\sqrt{\lambda\beta}}\dfrac{2\lambda\sqrt{\lambda}}{\beta\sqrt{\beta}} \\
&=& \dfrac{2\lambda}{\beta^2}
\end{eqnarray}
[/math]

である。また、[math]V[S][/math]は

[math]
V[S] = 2\psi\mu^{3/2}
[/math]

とも表せる。

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