【統計検定1級過去問】2015年（理工学）大問3 解答例

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大問3は指数分布族を少し限定したクラスに対するモーメント法をテーマとした問題が出題されました。

モーメント法は頻出分野ですが

• 問2でモデルMに含まれる確率密度関数の全積分に帰着するところ
• 問3で混合モデルに対するモーメント母関数を求めるところ

など思わず手が止まってしまうポイントが用意されており他の大問と比べて難易度が高いと思います。

問題

（出典：「統計検定 1級・準1級 公式問題集」。問題文を一部略記。）

問1

平均[math]\frac{1}{\beta}[/math]の指数分布の確率密度関数は

[math]
\begin{eqnarray}
f(y) &=& \beta \exp(-\beta y) \\
&=& \exp[ (-\beta)y + \log(\beta) ]
\end{eqnarray}
[/math]

なので[math]\theta=-\beta[/math], [math]b(\theta)=-\log(-\theta)[/math], [math]\psi=1[/math], [math]c(y;\psi)=0[/math]と書けモデルMの1つである。

問2

[math]
\begin{eqnarray}
&&m(t)\\
&=& \int_{-\infty}^\infty e^{ty}f(y; \theta,\psi) dy \\
&=& \int_{-\infty}^\infty \exp\left[\dfrac{(\theta+\psi t)y-b(\theta)}{\psi} + c(y) \right]dy
\end{eqnarray}
[/math]

ここで

[math]
\begin{eqnarray}
&& \exp\left[\dfrac{(\theta+\psi t)y-b(\theta)}{\psi} + c(y) \right] \\
&=& \exp\left[\dfrac{(\theta+\psi t)y-b(\theta+\psi t)}{\psi} + c(y) \right. \\
&&\quad + \left. \dfrac{b(\theta+\psi t) – b(\theta)}{\psi} \right] \\
&=& f(y; \theta+\psi t, \psi)\exp\left[\dfrac{b(\theta+\psi t) – b(\theta)}{\psi}\right]
\end{eqnarray}
[/math]

なので

[math]
\begin{eqnarray}
&& m(t) \\
&=& \exp\left[\dfrac{b(\theta+\psi t) – b(\theta)}{\psi}\right] \\
&&\quad \times\int_{-\infty}^\infty f(y; \theta+\psi t, \psi)dy \\
&=& \exp\left[\dfrac{b(\theta+\psi t) – b(\theta)}{\psi}\right]
\end{eqnarray}
[/math]

を得る。

また、[math]t[/math]で微分して[math]m'(t)=b'(\theta+\psi t)m(t)[/math]なので[math]E[Y]=m'(0)=b'(\theta)[/math]である。さらに[math]t[/math]で微分して

[math]
\begin{eqnarray}
&&m”(t)\\
&=& \psi b”(\theta+\psi t)m(t) + b'(\theta+\psi t)^2m(t)
\end{eqnarray}
[/math]

より[math]E[Y^2]=\psi b”(\theta) + b'(\theta)^2[/math]なので

[math]
\begin{eqnarray}
V[Y] &=& E[Y^2] – E[Y]^2 \\
&=& \psi b”(\theta) + b'(\theta)^2 – b'(\theta)^2 \\
&=& \psi b”(\theta)
\end{eqnarray}
[/math]

を得る。

問3

まず、平均[math]\frac{1}{\beta}[/math]の指数分布のモーメント母関数を[math]m_E(t)[/math]とすると問1, 2より

[math]
\begin{eqnarray}
m_E(t) &=& \exp[-\log(t-\beta)+\log(-\beta)] \\
&=& \dfrac{\beta}{\beta – t}
\end{eqnarray}
[/math]

であり平均[math]\lambda > 0[/math]のポアソン分布のモーメント母関数[math]m_P(t)[/math]とすると

[math]
\begin{eqnarray}
m_P(t) &=& \sum_{n=0}^\infty e^{tn}\dfrac{\lambda^n}{n!} \\
&=& e^{-\lambda}\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(\lambda e^t)^n}{n!} \\
&=& e^{-\lambda}\exp[\lambda e^t] \\
&=& \exp[\lambda (e^t-1)]
\end{eqnarray}
[/math]

である。これより年間降水量[math]S[/math]のモーメント母関数[math]m_S(t)[/math]は

[math]
\begin{eqnarray}
m_S(t) &=& E\left[e^{tS}\right] \\
&=& E\left[ E\left[ e^{t\sum_{i=1}^N X_i}\ |\ N \right]\right] \\
&=& E\left[ m_E(t)^N \right] \\
&=& E\left[ \exp[N\log m_E(t)]\right] \\
&=& m_P(\log m_E(t)) \\
&=& \exp\left[\lambda(m_E(t)-1)\right] \\
&=& \exp\left[\dfrac{\lambda t}{\beta – t}\right]
\end{eqnarray}
[/math]

である。

[math]b(x)=-\frac{1}{x}[/math]の時、

[math]
\dfrac{b(\theta+\psi t) – b(\theta)}{\psi} = \dfrac{t}{\theta(\theta + \psi t)}
[/math]

であり恒等的に

[math]
\begin{eqnarray}
&& \dfrac{t}{\theta(\theta + \psi t)} = \dfrac{\lambda t}{\beta – t} \\
&\Leftrightarrow& \lambda\theta(\theta + \psi t) = \beta – t
\end{eqnarray}
[/math]

が成立することから係数を比較し

[math]
\begin{eqnarray}
\theta &=& -\sqrt{\dfrac{\beta}{\lambda}} \\
\psi &=& \dfrac{1}{\sqrt{\lambda\beta}}
\end{eqnarray}
[/math]

を得る。

問4

問2, 3の結果から

[math]
\begin{eqnarray}
E[S] &=& b'(\theta) \\
&=& \dfrac{1}{\theta^2} \\
&=& \dfrac{\lambda}{\beta}
\end{eqnarray}
[/math]

であり

[math]
\begin{eqnarray}
V[S] &=& \psi b”(\theta) \\
&=& -\psi\dfrac{2}{\theta^{-3}} \\
&=& \dfrac{1}{\sqrt{\lambda\beta}}\dfrac{2\lambda\sqrt{\lambda}}{\beta\sqrt{\beta}} \\
&=& \dfrac{2\lambda}{\beta^2}
\end{eqnarray}
[/math]

である。また、[math]V[S][/math]は

[math]
V[S] = 2\psi\mu^{3/2}
[/math]

とも表せる。

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