単調尤度比とKarlin-Rubinの定理

前回の記事「一様最強検出力検定とネイマン・ピアソンの補題」では、帰無仮説、対立仮説ともパラメータが1つのみという非常にシンプルな構造をした仮説検定を考え尤度比検定が一様最強検出力検定になることを示しました。

確率密度関数が単調尤度比という性質を持つ場合、片側検定

• [math]H_0:\ \theta \leq \theta_0[/math]
• [math]H_1:\ \theta > \theta_0[/math]

に対して十分統計量を使って一様最強検出力検定を構成できること（Karlin-Rubinの定理）が知られています。

単調尤度比

まず単調尤度比(monotone likelihood ratio, MLR)について定義します。

定義を見ただけだと単調尤度比になる確率分布があるのだろうか？と思いますが正規分布（分散既知）、ポアソン、二項分布等の確率密度関数は単調尤度比になります。少し一般化した次の事実が知られています。

実際、

[math]
\dfrac{g(t|\theta_2)}{g(t|\theta_1)} = \dfrac{c(\theta_2)}{c(\theta_1)}\exp[(w(\theta_2)-w(\theta_1))t]
[/math]

なので確かに[math]t[/math]の単調非減少な関数になることが分かります。

Karlin-Rubinの定理

片側検定

• [math]H_0:\ \theta \leq \theta_0[/math]
• [math]H_1:\ \theta > \theta_0[/math]

に対して十分統計量[math]T[/math]を使って

• [math]T\geq t_0[/math]ならば[math]H_0[/math]を棄却
• [math]T< t_0[/math]ならば[math]H_0[/math]を採択

する検定[math]T_M[/math]を考えます。この検定[math]T_M[/math]は次のKarlin-Rubinの定理から一様最強検出力検定であることが知られています。

証明の概略はパラメータ[math]\theta'(>\theta_0)[/math]を任意に固定し次の単純仮説

• [math]{H’}_0:\ \theta = \theta_0[/math]
• [math]{H’}_1:\ \theta = \theta'[/math]

を考えます。[math]g(t|\theta)[/math]は単調尤度比より[math]\theta'(>\theta_0)[/math]に対し[math]\frac{g(t|\theta’)}{g(t|\theta_0)}[/math]は単調非減少関数になるので

[math]
\lambda(t)=\dfrac{g(t|\theta_0)}{g(t|\theta’)}
[/math]

は単調非増加関数になります。これよりある定数[math]k>0[/math]が存在して

[math]
T \geq t_0 \Leftrightarrow \lambda(t) \leq k
[/math]

が成立します。そこで、[math]\lambda(t)[/math]と[math]k[/math]と比較して[math]{H’}_0[/math]の棄却／採択を決定する仮説検定[math]T'[/math]を考えるとネイマン・ピアソンの補題^[1] … Continue readingから検定[math]T'[/math]は有意水準[math]\alpha[/math]の一様最強検出力検定であることが分かります。[math]\theta'(>\theta_0)[/math]は任意なので検定[math]T_M[/math]は一様最強検出力検定になります。

シリーズ記事

• 統計学
  • 仮説検定
  • 尤度比検定
  • 仮説検定の過誤と検出力関数
  • 一様最強検出力検定とネイマン・ピアソンの補題
  • 単調尤度比とKarlin-Rubinの定理（本記事）

参考文献

• Casella, G and Berger, R.L.(1990), Statistical Inference(Second Edition): Section 8.3.2 Most Powerful Tests