【統計検定1級過去問】2015年（理工学）大問2

生存時間を表す確率変数[math]T[/math]に対してハザード関数[math]\lambda(t)[/math]を

[math]
\lambda(t)=\displaystyle\lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{P(t < T < t+\Delta t\ |\ T > t)}{\Delta t},\quad t\geq 0
[/math]

とし、[math]\Lambda(t)=\int_{0}^{t}\lambda(u)du(t\geq 0)[/math]とおく。また、

• [math]F(t)[/math]: [math]T[/math]の累積分布関数
• [math]f(t)[/math]: [math]T[/math]の確率密度関数
• [math]\phi(t)[/math]: [math]N(0,\ 1)[/math]の確率密度関数
• [math]\Phi(t)[/math]: [math]N(0,\ 1)[/math]の累積分布関数

とするとき、以下の問に答えよ。

1. [math]\lambda(t)[/math]を[math]F(t),\ f(t)[/math]を用いて表せ。
2. [math]F(t)[/math]を[math]\Lambda(t)[/math]を用いて表せ。
3. [math]\lambda(t),\ t\geq 0[/math]が

   [math]
   \begin{eqnarray}
   \lambda(t) &=& \dfrac{\frac{1}{\sigma}\phi\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)}{A(t)} \\
   A(t) &=& 1-\Phi\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)
   \end{eqnarray}
   [/math]

   であるとき[math]T[/math]の確率密度関数[math]f(t)[/math]を求め、分布の名称を答えよ。

4. 定数[math]\alpha\in (0, 1)[/math]に対し[math]P(T\leq c)=\alpha[/math]となる定数[math]c[/math]を求めよ。
5. 問4の[math]T,\ c[/math]に対して

   [math]
   E[T\ |\ T>c] = \mu + \dfrac{\sigma\phi\left(\Phi^{-1}\left(1-(1-\alpha)A(0)\right)\right)}{(1-\alpha)A(0)}
   [/math]

   となることを示せ。