【統計検定1級過去問】2018年（理工学）大問1

2018年統計検定1級（理工学）大問1

ある工場製品は稀に不良品が発生し、不良品が発生する時間間隔[math]X[/math]はパラメタ[math]\lambda[/math]の指数分布に従うとする。この時、以下の問いに答えよ。

パラメタ[math]\lambda[/math]の指数分布の累積分布関数[math]F(x)[/math]とモーメント母関数[math]M_X(\theta)=E[e^{\theta X}][/math]を求めよ。
[math]n[/math]個の不良品が発生するための時間を[math]W_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}[/math]とする。[math]W_n[/math]の確率密度関数は以下で与えられることを示せ。また、モーメント母関数[math]M_W(\theta)=E\left[e^{\theta W}\right][/math]を求めよ。
[math]
 g_{n}(w)=\left\{\begin{array}{cc}{
\dfrac{\lambda^{n} w^{n-1} e^{-\lambda w}}{(n-1) !}} & {(w \geq 0)} \\
{0} & {(w<0)}\end{array}\right. [/math]
[math]U[/math]を区間[math](0, 1)[/math]上の一様分布に従う確率変数とすると[math]X=-\lambda^{-1}\log U[/math]はパラメタ[math]\lambda[/math]の指数分布に従うことを示せ。
不良品の生じる確率を[math]p[/math]とする。良品・不良品の生起が独立である時、不良品が初めて生じるまでの良品の個数[math]Y[/math]は幾何分布に従い[math]P(Y=y)=p(1-p)^y[/math]である。[math]X[/math]をパラメタ[math] \lambda = -\log (1-p)[/math]の指数分布に確率変数とする時、[math]X[/math]を超えない最大整数を[math]Y[/math]とすると[math]Y[/math]はパラメタ[math]p[/math]の幾何分布に従うことを示せ。
互いに独立で区間[math](0, 1)[/math]上の一様分布に従う確率変数を[math]U_{1}, U_{2}, \dots[/math]とする。整数[math]M[/math]が
[math]
 U_{1} \times \cdots \times U_{M}>e^{-\lambda}>U_{1} \times \cdots \times U_{M} \times U_{M+1}
[/math]

を満たすとする。この時、[math]M[/math]はパラメタ[math]\lambda[/math]のポアソン分布に従うことを示せ。