【統計検定1級過去問】2018年（理工学）大問5

母集団全体の分布[math]F[/math]は分散は等しいが平均が異なる正規分布[math]N(\mu_1, \sigma^2)[/math]と[math]N(\mu_2, \sigma^2)[/math]の混合率[math]1/2[/math]ずつの混合であるとする。[math]N(\mu_j, \sigma^2)[/math]の確率密度関数を[math]f_j(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp \left[-\dfrac{\left(x-\mu_{j}\right)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right][/math]とすると分布[math]F[/math]の確率密度関数[math]f(x)[/math]は

[math]

f(x)=\dfrac{f_1(x) + f_2(x)}{2}
[/math]

で与えられる。分布[math]F[/math]に従う確率変数を[math]X[/math]とする時、以下の問いに答えよ。

1. [math]E[X]=\dfrac{\mu_1 + \mu_2}{2}[/math], [math]V[X]=\sigma^2 + \left(\dfrac{\mu_{1}-\mu_{2}}{2}\right)^{2}[/math]であることを示せ。
2. クラスA（受講者数: 100人）の試験結果は
   • 数学選択: 受講者数 50人, 平均 [math]69.7[/math], 標準偏差 [math]6.8[/math]
   • 数学非選択: 受講者数 50人, 平均 [math]49.6[/math], 標準偏差 [math]7.8[/math]

   であった。この時、クラスA全体の平均と標準偏差を求めよ。

3. [math]f'(x), f”(x)[/math]を求めよ。[math]x=\dfrac{\mu_1 + \mu_2}{2}[/math]は[math]f(x)[/math]の極値を与えることを示せ。
4. 分布[math]F[/math]が二峰性を示すための[math]\mu_{1}, \mu_{2}, \sigma[/math]の条件を求めよ。